[論文レビュー] Partition functions and graphs: A combinatorial approach

Allan I. Solomon, Paweł Błasiak+3 more|ArXiv.org|Sep 14, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、第二量子化されたボソン演算子の正規順序を活用することで、統計力学における分配関数の組合せ的計算手法を提示する。この手法は自然にベル数およびその図式的表現へと導く。方法は、ベル数に類似したフェ Feynman 型の図式を用いた摂動展開に分配関数の計算を写像し、生成関数および coherent state 積分を用いて、自由ボソン気体や超流動ボソン系といったモデルにおいても効率的な計算が可能となる。

ABSTRACT

Although symmetry methods and analysis are a necessary ingredient in every physicist's toolkit, rather less use has been made of combinatorial methods. One exception is in the realm of Statistical Physics, where the calculation of the partition function, for example, is essentially a combinatorial problem. In this talk we shall show that one approach is via the normal ordering of the second quantized operators appearing in the partition function. This in turn leads to a combinatorial graphical description, giving essentially Feynman-type graphs associated with the theory. We illustrate this methodology by the explicit calculation of two model examples, the free boson gas and a superfluid boson model. We show how the calculation of partition functions can be facilitated by knowledge of the combinatorics of the boson normal ordering problem; this naturally gives rise to the Bell numbers of combinatorics. The associated graphical representation of these numbers gives a perturbation expansion in terms of a sequence of graphs analogous to zero - dimensional Feynman diagrams.

研究の動機と目的

• 統計力学における分配関数の計算とベル数などの組合せ的構造との間の関係を確立すること。
• 第二量子化されたボソン演算子の正規順序が、量子物理学において基本的となる組合せ的数列を導くことの証明。
• ゼロ次元フェインマン図に類似したベル数に基づく図式を用いて、分配関数被積分関数（PFI）の図式的摂動展開を構築すること。
• 具体的なモデル（特に自由ボソン気体および超流動ボソン系）への適用を通じて、計算の可能性を示すこと。
• ハミルトニアンのパラメータを用いて、PFI 及びその展開係数 Vn(y) の明示的表現を coherent state 表記を用いて導出すること。

提案手法

• [a, a†] = 1 を満たすボソン演算子 (a, a†) の正規順序を用い、(a†a)^n のべきを第二種スターリング数およびベル数で表す。
• 分配関数被積分関数（PFI）を coherent state 期待値 ⟨z|exp(−βH)|z⟩ として表現し、ベル多項式を含む母関数に帰着させる。
• ベル数およびその一般化を符号化するための指数型母関数 AB(x,y) = exp(y(e^x − 1)) を適用する。
• 白丸（出発点）から黒丸（頂点）へのラベル付き線分を用いた図式的表現を構築し、連結グラフとしてベル数を表現し、摂動級数の各項に対応させる。
• su(1,1)生成子を用いてハミルトニアンを表現し、群論的恒等式を用いて正規順序形に変換することで、超流動ボソンハミルトニアンの PFI を導出する。
• 明示的な PFI 表現 F(x,z) = exp(1/2 * y1 * z²) * exp(|z|²*(e^{y2}−1)) * exp(1/2 * y1̄ * z̄²) * exp(1/2 * y2) を得る。ここで y1 および y2 は、双曲線関数を介してハミルトニアンのパラメータから定まる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子多体系の分配関数は、どのように組合せ的構造を用いて体系的に展開できるか？
• RQ2 正規順序は、第二量子化された演算子とベル数のような古典的組合せ的数列を結ぶ役割を果たすか？
• RQ3 分配関数被積分関数の摂動級数を、ゼロ次元フェインマン図に類似した図式的表現として構築できるか？
• RQ4 PFI 展開の係数 Vn(y) は、超流動ボソン系のようなモデルにおけるハミルトニアンのパラメータとどのように関係するか？
• RQ5 ベル数に基づく図式的展開は、量子統計モデルにおける分配関数被積分関数の評価に一般に適用可能か？

主な発見

• 自由ボソン気体の分配関数被積分関数（PFI）は、exp(∑_{n≥1} Vn(y) x^n / n!) として表され、y = 1 のとき Vn(y) = 2^n * B(n) となる。これにより展開がベル数と関連づけられる。
• c1 = 2、c2 = 4 である超流動ボソンモデルでは、PFI 展開の明示的係数が得られる：V1(y) = 2 + 6y、V2(y) = 2 + 36y、V3(y) = 16 + 288y、V4(y) = 144 + 3024y。
• 超流動モデルの PFI は F(x,z) = exp(1/2 * y1 * z²) * exp(|z|²*(e^{y2}−1)) * exp(1/2 * y1̄ * z̄²) * exp(1/2 * y2) として導出され、y1 および y2 はハミルトニアンのパラメータから双曲線関数を用いて定まる。
• ベル数の図式的表現は、指数型母関数に対応する摂動展開に類似した図式的展開を提供し、各グラフが母関数の項に対応する。
• この手法により、ベル数に基づく級数が、su(1,1) システムのような非自明なハミルトニアンを有するさまざまな量子統計モデルにおける PFI 評価に一般に適用可能であることが示された。
• z=1 における coherent state 期待値 ⟨z|(a†a)^n|z⟩ がベル数 B(n) に等しくなることが確認され、組合せ的数が量子場理論において物理的意味を持つことが裏付けられた。