[論文レビュー] Partition Functions of Strongly Correlated Electron Systems as "Fermionants"

Shailesh Chandrasekharan, U.‐J. Wiese|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、無限U Hubbard模型、フラストレーテッド反強磁性体、Kondo格子などの強相関電子系の分配関数を自然に記述するための新しい数学的対象「fermionant」——行列式の一般化——を導入する。fermionantは、巡回構造に依存する符号因子による重み付き置換和として、無限大の局所反発の効果を捉えており、その計算複雑性は量子多体物理学における未解決のフェルミオン符号問題の核心に位置する。

ABSTRACT

We introduce a new mathematical object, the "fermionant" ${\mathrm{Ferm}}_N(G)$, of type $N$ of an $n imes n$ matrix $G$. It represents certain $n$-point functions involving $N$ species of free fermions. When N=1, the fermionant reduces to the determinant. The partition function of the repulsive Hubbard model, of geometrically frustrated quantum antiferromagnets, and of Kondo lattice models can be expressed as fermionants of type N=2, which naturally incorporates infinite on-site repulsion. A computation of the fermionant in polynomial time would solve many interesting fermion sign problems.

研究の動機と目的

• 無限大の局所反発を有する強相関フェルミオン系の分配関数を統一的な数学的枠組みで記述すること。
• Hubbard模型や幾何的フラストレーションを示す反強磁性体を含む量子多体系における、持続的なフェルミオン符号問題に対処すること。
• fermionant——行列式の一般化——が多項式時間で計算可能かどうかを調査し、長年の符号問題を解消する可能性を検討すること。
• fermionantを自由フェルミオン理論におけるn点関数や摂動論的フェ Feynman 図の和に、物理的観測量と結びつけること。
• fermionantの計算複雑性を調査し、組合せ論におけるimmanantやpermanentに類似した問題とその関係を明らかにすること。

提案手法

• n×n行列Gのすべての置換σに対する和として、$\mathrm{Ferm}_N(G)$を定義する。ここで重みは$(-N)^{\nu(\sigma)}$であり、$\nu(\sigma)$は置換σの巡回数である。
• N=1のときfermionantは行列式に、N=-1のとき永久行列式に還元されることを示し、両者の一般化としての役割を確立する。
• キャラクター理論を用いて、fermionantをimmanantの線形結合として表現する：$\mathrm{Ferm}_N(G) = (-1)^n \sum_\Gamma c_\Gamma(N) \mathrm{Imm}_\Gamma(G)$。これにより表現論と結びつける。
• 無限U Hubbard模型、フラストレーテッド反強磁性体、Kondo格子模型の分配関数が、すべてN=2型fermionantとして自然に記述されることを示す。
• fermionantを用いて自由フェルミオン系におけるn点関数を記述し、摂動論的フェ Feynman 図の指定された次数のすべての和を計算する。
• fermionantの計算複雑性を分析し、多項式時間アルゴリズムが知られていないものの、特定の状況では効率的な確率的サンプリングが可能になる可能性があることを指摘する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限大の局所反発を有する強相関フェルミオン系の分配関数は、行列式を越える新しい数学的対象として記述可能か？
• RQ2 fermionantは行列式と永久行列式をどのように一般化するのか？また、群のキャラクターと巡回指数の観点から、その数学的構造は何か？
• RQ3 fermionantを評価する計算複雑性は何か？Pに属するか、それとも永久行列式と同様に#P-ハードか？
• RQ4 fermionantは、フェルミオン系の量子モンテカルロシミュレーションにおける符号問題を統一的に理解するためのフレームワークとして機能できるか？
• RQ5 fermionantは一般には計算困難であるが、その一般性にもかかわらず、特定の物理系で効率的な確率的サンプリングを可能にするか？

主な発見

• 半フォールドから離れた無限U Hubbard模型の分配関数は、正確にN=2型fermionantとして表現可能である。
• 幾何的フラストレーションを示す量子反強磁性体やKondo格子模型の分配関数も、自然にN=2型fermionantとして記述可能である。
• fermionantは、置換σの巡回数$\nu(\sigma)$を用いて$(-N)^{\nu(\sigma)}$で重みづけられた各置換の和として定義され、行列式の一般化として機能する。
• fermionantはキャラクター展開を通じてimmanantと数学的に関係しており、その複雑性は永久行列式と同等以上であると予想される。
• fermionantを多項式時間で計算するアルゴリズムが存在すれば、強相関フェルミオン系における多くの困難なフェルミオン符号問題が解消される。
• そのようなアルゴリズムはまだ知られていないが、fermionantは強相関フェルミオン系の計算困難性を分析するための新しい数学的視点を提供する。