[論文レビュー] Partitionability to two trees is NP-complete

Dömötör Pálvölgyi|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、単純なグラフの辺集合が2つの互いに素な木に分割可能かどうかを判定することはNP完全であることを証明している。著者らは、変数と節のサブグラフをviolett（紫）の辺で接続するグラフ構成を用いて、Not-All-Equal Satisfiability（NAE-SAT）問題をPartitionability to Two Trees（P2T）問題に多対一還元し、有効な木の分割が存在するための必要十分条件が、良いNAE-SAT割り当てが存在することであることを示している。

ABSTRACT

We show that P2T - the problem of deciding whether the edge set of a simple graph can be partitioned into two trees or not - is NP-complete.

研究の動機と目的

• グラフの辺集合が2つの辺素な木に分割可能かどうかを判定する問題の計算複雑性を確立すること。
• アンダーシ・フランクが提起した、辺をk個の非全域木に分割する問題の複雑性に関する未解決問題を解明すること。
• 最大次数が有界な制約下でも、この問題がNP完全のままであることを示すこと。
• 特殊なグラフ構造を用いて、NAE-SATからP2T意思決定問題へのタイトな還元を提供すること。
• 辺の2つの木への分割が、正確に有効なNAE-SAT割り当てに対応することを示し、同値性を確立すること。

提案手法

• 与えられたNAE-SATインスタンスから、変数サブグラフL_iを用いてt_{i-1}とt_iをv_iとv̄_iを介して接続するサイクルを形成するグラフGを構築する。
• 頂点uとwの間に「violett（紫）の辺」を導入し、uとwの削除によって残りの部分と接続のない4頂点のサイクルが孤立するようにする。これにより、各木がその2つの接続辺のうちちょうど1つを用いることが強制される。
• 各節について、3k個の頂点を持つ節サブグラフC_jを構築する：p_j^iとq_j^iの2kサイクル、およびp_j^iに接続され、リテラルに応じてv_mまたはv̄_mに接続されるk個の追加頂点r_j^i。
• 各r_j^iとq_j^iの間にviolett（紫）の辺を接続することで、木がr_j^iを通じて節サブグラフから脱出することを防ぎ、入出力経路が制限されることを保証する。
• αからωへの有向木走査を用いて、各v_iとv̄_iがちょうど1つの木に属することを強制し、変数の真理値割り当てをモデル化する。
• 等しいリテラルが1つの節に存在する場合、1つの木にサイクルが生じることを示すことで、有効な木分割が存在するならば、良いNAE-SAT割り当てが存在し、逆にその逆も成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純グラフの辺集合が2つの辺素な木に分割可能かどうかを判定する問題は、計算的に困難であるか？
• RQ2 Not-All-Equal Satisfiability（NAE-SAT）問題を多項式時間でP2T問題に還元できるか？
• RQ3 P2TのNP完全性は、最大次数が有界な制約下でも保持されるか？
• RQ4 どのようなグラフ構造的性質が、有効な2つの木への分割が正確に有効なNAE-SAT割り当てに対応することを保証するか？
• RQ5 violett（紫）の辺は、頂点のペアに接続された2つの辺のうち、各木がちょうど1つを用いることをどのように強制するか？

主な発見

• P2T問題は、NAE-SATへの多項式時間の多対一還元によってNP完全であることが証明された。
• 有効な辺分割が2つの木に存在するための必要十分条件は、対応するNAE-SATインスタンスに、各節に真と偽のリテラルがともに存在する良い評価が存在することである。
• 構成により、各変数サブグラフL_iが、1つの木がv_i経路を、もう1つの木がv̄_i経路を用いることを強制し、真理値割り当てをモデル化する。
• violett（紫）の辺は、各木が頂点ペアに接続された2つの辺のうちちょうど1つを用いることを強制し、サイクルの発生を防ぎ、走査制約を保証する。
• 節サブグラフは、節内のすべてのリテラルが同じ真理値を持つ場合、1つの木にサイクルが強制され、木の性質に反するように設計されている。
• 最大次数4のグラフに対しても結果が成り立つことが、各リテラルが最大2回まで出現するNAE-SAT-(2;2)への還元によって示された。