[論文レビュー] Partitioning in the space of antimonotonic functions

Patrick De Causmaecker, Stefan De Wannemacker|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、反単調ブール関数の空間における区間の新規代数的分解を提示する。部分順序と新しい外部積演算子を活用して、下位次元の部分空間から導かれる区間の互いに素な和集合にラティスを分割する。主な貢献は、デデキンド数の新しい再帰公式を導く再帰的枠組みを提供し、単調および反単調関数の出力多項式時間列挙アルゴリズムを可能にする点である。

ABSTRACT

This paper studies partitions in the space of antimonotonic boolean functions on sets of n elements. The antimonotonic functions are the antichains of the partially ordered set of subsets. We analyse and characterise a natural partial ordering on this set. We study the inter- vals according to this ordering. We show how intervals of antimonotonic functions, and a fortiori the whole space of antimonotonic functions can be partitioned as disjoint unions of certain classes of intervals. These in- tervals are uniquely determined by antimonotonic functions on smaller sets. This leads to recursive enumeration algorithms and new recursion relations. Using various decompositions, we derive new recursion formu- lae for the number of antimonotonic functions and hence for the number of monotonic functions (i.e. the Dedekind number).

研究の動機と目的

• 反単調ブール関数の空間を分割する体系的な代数的枠組みの構築を目的とする。
• 反単調関数における自然な部分順序を特徴づけ、この順序内での区間を定義する。
• 関数内の集合に基づく分解と、基礎集合の分割に基づく分解を用いて、区間を低次元成分に分解することで、デデキンド数の新しい再帰関係を導出する。
• 出力多項式時間計算量を達成する再帰的列挙アルゴリズムを設計する。
• 分解を完全分配的ラティスへ一般化し、ヤングのラティスを用いて具体化する。

提案手法

• 受理集合の包含関係に基づく反単調関数上の部分順序を導入し、比較可能な境界間の関数集合として区間を定義する。
• 異なる部分空間からの区間を結合する新しい外部積演算子 × を定義し、高次元区間の分解を可能にする。
• base(α) および top(α) 演算子を用いて、区間クラスの標準的代表元を特定し、分割における非交差性を保証する。
• 関数内の集合に基づく分解と、基礎集合の分割に基づく分解の2つの定理を適用し、区間分解を生成する。
• 一様スパンを持つ区間と一般の区間が、それぞれ低次元の反単調関数に結びつく部分区間の互いに素な和集合として表現できることを証明する。
• アービットラリのラティス構造を活用し、分解された区間内の要素を再帰的に数えることで、デデキンド数の再帰公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反単調関数の空間を、自然な部分順序に基づいて、互いに素な区間へ体系的に分割する方法は何か？
• RQ2 反単調関数のどのような構造的性質が、より小さい集合上で定義された区間への再帰的分解を可能にするか？
• RQ3 この分解により、単調ブール関数の数を数えるデデキンド数の新しい再帰関係が得られるか？
• RQ4 提案された区間分解を用いた反単調関数の列挙の計算量的複雑度は何か？
• RQ5 外部積演算子 × は、完全分配的ラティスにおける区間の標準的かつ非交差的な分解をどのように可能にするか？

主な発見

• 本稿は、反単調関数の区間が、より小さい集合上の反単調関数によって一意に定まる部分区間の互いに素な和集合として分割可能であることを確立している。
• 新しい外部積演算子 × が定義され、上位関数と下位関数に基づいて、区間を標準的かつ重複のない成分に分解可能である。
• この分解により、反単調関数の数、ひいてはデデキンド数の新しい再帰公式が得られ、著者らの知る限り、本稿で初めてのものである。
• 区間分解により、出力多項式時間で実行される再帰的列挙アルゴリズムの設計が可能となり、実装例も提供されている。
• この枠組みは完全分配的ラティスへ一般化可能であり、ヤングのラティスにおいて、空でないヤング図の無限ラティス全体が区間の互いに素な和集合として示されている。
• 分割における非交差性の証明は、γ ≤ α×β ならば γ ∧ top(α) ≤ α であるという性質に依拠しており、要素が各成分に一意に割り当てられることを保証する。