[論文レビュー] Partitions associated with the Ramanujan/Watson mock theta functions $\omega(q), u(q)$ and $\phi(q)$

George E. Andrews, Atul Dixit+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2015

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ひとこと要約

本稿は、最小部の相対的な奇数部および偶数部に制限を加えた分割関数を通じて、ラマヌジャン／ウォーソンの第三順数モック・トゥータ関数 ω(q)、ν(q)、φ(q) の組合せ的解釈を確立する。このような分割の母関数がまさにこれらのモック・トゥータ関数に一致することを証明し、関連する最小部関数 sptω(n)、sptν(n)、sptφ(n) に対して、5を法とする新しい無限族の合同式を導出する。これは、ラマヌジャン型分割合同式の精神を拡張するものである。

ABSTRACT

The generating function of partitions with repeated (resp. distinct) parts such that each odd part is less than twice the smallest part is shown to be the third order mock theta function $\omega(q)$ (resp. $ u(-q)$). Similar results for partitions with the corresponding restriction on each even part are also obtained, one of which involves the third order mock theta function $\phi(q)$. Congruences for the smallest parts functions associated to such partitions are obtained. Two analogues of the partition-theoretic interpretation of Euler's pentagonal theorem are also obtained.

研究の動機と目的

• 奇数部および偶数部を最小部に対して制限することにより、モック・トゥータ関数 ω(q)、ν(q)、φ(q) の分割論的解釈を提供すること。
• 各奇数部（または偶数部）が最小部の 2 倍未塔（または 2 倍以下）である分割の母関数を導出し、それが ω(q)、ν(−q)、φ(q) を生成することを示すこと。
• 最小部関数 sptω(n)、sptν(n)、sptφ(n) に対して、5 を法とする新しい無限族の合同式を確立し、ラマヌジャン型分割合同式を拡張すること。
• パrameter α を用いて高次のモック・トゥータ関数へ一般化し、それらの分割論的意義を調査すること。
• バレーの 10φ9 変換から導かれる特定の q 級数恒等式が、合同式および分割恒等式の背後にあることを示すこと。

提案手法

• 分割クラスの定義：ω(q) については、各奇数部が最小部の 2 倍未満である分割；ν(−q) については、同様の条件を満たす相異なる部を持つ分割。
• 母関数と基本的な超幾何級数恒等式を用い、特にバレーの 10φ9 変換の特殊ケースの二階微分を活用する。
• モジュラー形式および q 級数恒等式（ヤコビの三重積および変換公式を含む）を用い、5 を法とする係数を分析する。
• 既知のモック・トゥータ関数の結果、特に ν(q) および φ(q) の表現を活用し、それらを分割統計と結びつける。
• 恒等式 ∑(q;q)n q^n / ((q;q²)n (1−q^n)^2) = ∑n q^n/(1−q^n) + ∑(−1)^n (1+q^{2n}) q^{3n+1}/(1−q^{2n})^2 を用い、重要な合同式を導出する。
• パrameter化された形 ω(α;q) および ν(α;q) を用いて結果を一般化し、アンドリュース（2012）の既知の恒等式を用いて特殊ケースを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モック・トゥータ関数 ω(q)、ν(q)、φ(q) は、制限付き整数分割を通じて直接の組合せ的解釈を与えられるか？
• RQ2 各奇数部（偶数部）が最小部の 2 倍未満（または 2 倍以下）である分割の母関数は何か？
• RQ3 最小部関数 sptω(n)、sptν(n)、sptφ(n) は 5 を法としてラマヌジャン型合同式を満たすか？
• RQ4 恒等式 (q;q)n q^n / ((q;q²)n (1−q^n)^2) を用いて、新しい分割合同式を導出できるか？
• RQ5 一般化されたモック・トゥータ関数 ω(α;q)、ν(α;q) は α ≠ q の場合に分割論的解釈を有するか？

主な発見

• 各奇数部が最小部の 2 倍未満である分割の母関数は qω(q) に一致し、ω(q) と自然な分割クラスとの直接的な関係を証明する。
• 各奇数部が最小部の 2 倍未満である相異なる部を持つ分割の母関数は ν(−q) に一致し、このモック・トゥータ関数の組合せ的解釈を確立する。
• 最小部関数 sptω(n) は sptω(5n+3) ≡ 0 (mod 5)、sptω(10n+7) ≡ 0 (mod 5)、sptω(10n+9) ≡ 0 (mod 5) を満たし、ラマヌジャン風の合同式を拡張する。
• 最小部関数 sptν(n) は sptν(10n+8) ≡ 0 (mod 5) を満たし、相異なる部を持つバージョンの新しい合同式を示す。
• ν(−q) の q^{10n+8} の係数は 5 で割り切れるため、sptν(10n+8) の合同式が確認される。
• ω(α;q²) および ν(−α;−q) の一般化された恒等式が導出され、α = q の特殊ケースでは元の分割恒等式が回復される。