[論文レビュー] Partitions into thin sets and forgotten theorems of Kunugi and Lusin-Novikov

E. Grzegorek, Iwo Labuda|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1930年代に発表されたKunugiとLusin-Novikovの2つの見過ごされた結果を明らかにし、それらがBaireカテゴリおよび可測関数の理論における主要な発展を予見していたことを分析している。関数が距離空間から位相空間への写像であり、Baire性質を持つ場合、被覆空間が分離可能でない場合でも、第一カテゴリ集合を除いて連続であることが示されている。これは、1935年にKuratowskiが提起した基礎的問題を解決するものである。

ABSTRACT

Let $f$ be a function from a metric space $Y$ to a separable metric space $X$. If $f$ has the Baire property, then it is continuous apart a 1st category set. In 1935, Kuratowski asked whether the separability requirement could be lifted. A full scale attack on the problem took place in the late seventies and early eighties. What was not known then, and what remains virtually unknown today, is the fact that the first impressive attempt to solve the Kuratowski problem, due to Kinjiro Kunugi and based on a theorem of Lusin and Novikov, took place already in 1936. Lusin's remarkable 1934 Comptes Rendus note soon forgotten, remained unnoticed to this day. We analyze both papers and bring the results to full light.

研究の動機と目的

• 1936年に発表されたKinjiro Kunugiの業績を再評価し、Baireカテゴリおよび可測関数の理論における後続の発展を予見していたことの重要性を再確立すること。
• 1934年にLusinが発表したComptes Rendusのノートを分析し、非分離可能な集合が任意のBorel集合によって分離できないという深い結果を明らかにすること。この結果は長らく無視されてきた。
• LusinとNovikovの定理に基づくKunugiの手法が、1935年にKuratowskiが提起した非分離可能な被覆空間への連続性のほとんど everywhere の拡張問題を解決することを示すこと。
• 被覆空間が分離可能でない場合でも、関数が距離空間への写像としてBaire性質を持つならば、第一カテゴリ集合を除いて連続であることを示すこと。
• これらの忘れられた結果を現代的かつ明確に再構成し、記述的集合論および測度論分野における現代研究との関連性を強調すること。

提案手法

• Montgomeryの研究にインspiredされた方法を用い、距離空間を正の相互距離をもつ$G_\rho$-集合に分解することで、Kunugiの1936年の証明を再構築する。
• Lusinの1934年の結果を適用：$F \subset \mathbb{R}$ が常に第一カテゴリでない場合、任意のBorel集合によって分離できない2つの互いに素な部分集合$F_1, F_2$ に分割可能である。
• 「包と外測度」の概念を用いて、正の測度をもつ完全集合$Q$において、2つの互いに素な部分集合$E_1, E_2$ がそれぞれ外測度$m(Q)$ をもつことを示す。
• 「点において第二カテゴリ」および「どこでも稠密でない」集合の概念を用いて、位相空間内の集合の残渣的構造を特徴付ける。
• 関数$f: Y \to X$ がBaire性質を持ち、$Y$ が重さ$\leq \mathfrak{c}$ のČech完全空間であれば、$f$ は第一カテゴリ集合を除いて連続であることを示す。
• 主結果の強化を証明する：点ごとに有限な族のうち、普遍的$\mathcal{M}$-零集合または常に第一カテゴリ集合であるものについて、その和集合が零でない場合、いかなる普遍的$\mathcal{M}$-可測集合でも、部分族を残りの集合から分離することはできない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な結果「Baire性質を持つ関数は第一カテゴリ集合を除いて連続である」において、分離可能性の仮定を外すことは可能か？
• RQ2 Kuratowskiの1935年の問題、すなわちBaire性質に関する結果を非分離可能な被覆空間に拡張する問題において、Kunugiの1936年の論文の意義は何か？
• RQ3 Lusinの1934年の結果、すなわちBorel集合によって分離できない非分離可能な集合に関する結果は、可測集合およびBaire集合の構造とどのように関係しているか？
• RQ4 「常に第一カテゴリ」および「点において第二カテゴリ」という概念は、位相空間の部分集合の構造を分析する上でどの程度有効か？
• RQ5 強制法やモデル理論的手法を用いずに、Baire性質の連続性定理の非分離可能ケースを、純粋に位相的および測度論的道具で証明することは可能か？

主な発見

• Kunugiの1936年の論文は、Kuratowskiの1935年の問題を解決しており、被覆空間が分離可能でない場合でも、距離空間から位相空間への関数がBaire性質を持つならば、第一カテゴリ集合を除いて連続であることを示している。
• Lusinの1934年の結果は、正の測度をもつ完全集合の部分集合として、任意のBorel集合によって分離できない2つの互いに素な部分集合が存在することを確立しており、非分離可能なBaire集合を理解する上で基礎的である。
• 本稿では、$Y$ が重さ$\leq \mathfrak{c}$ のČech完全空間であれば、任意の関数$f: Y \to X$ がBaire性質を持つ場合、$X$ が分離可能でない場合でも、第一カテゴリ集合を除いて連続であることを証明している。
• 著者らは、点ごとに有限な族のうち、普遍的$\mathcal{M}$-零集合または常に第一カテゴリ集合であるものについて、その和集合が零でない場合、いかなる普遍的$\mathcal{M}$-可測集合でも、部分族を残りの集合から分離することはできないことを示している。
• 点に測度が消えるような状況のもとで、正の測度をもつ完全集合$Q$ が存在し、$Q$ の2つの互いに素な部分集合$E_1, E_2$ がそれぞれ外測度$m(Q)$ をもつことが確認され、Lusinの主張が裏付けられた。
• 集合$A \subset E$ が$E$ に対してBaire性質を持つとき、$E$ が$X$ において稠密であれば、ある条件下で$A$ は$E$ に対してBaire性質を持つことが示され、非分離性の証明において矛盾を導くために用いられている。