[論文レビュー] Partitions of graphs into small and large sets

Asen Bojilov, Yair Caro+2 more|RECERCAT (Consorci de Serveis Universitaris de Catalunya)|May 8, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、グラフにおけるk-スモール集合およびk-ラージ集合を導入し、それらを用いた最小分割パラメータφₖ(G)およびΩₖ(G)を定義する。これらのパラメータは、独立数、クリーク数、彩色数と緊密に結びついており、φₖ(G)およびΩₖ(G)のための線形時間のグリーディアルゴリズムを構築する。さらに、エッジ数および次数列に関する新たな境界を用いて、Caro-Wei、Turán、Hansen-Zhengの定理を精緻化する鋭い不等式を導出する。

ABSTRACT

Let $G$ be a graph on $n$ vertices. We call a subset $A$ of the vertex set $V(G)$ \emph{$k$-small} if, for every vertex $v \in A$, $°(v) \le n - |A| + k$. A subset $B \subseteq V(G)$ is called \emph{$k$-large} if, for every vertex $u \in B$, $°(u) \ge |B| - k - 1$. Moreover, we denote by $φ_k(G)$ the minimum integer $t$ such that there is a partition of $V(G)$ into $t$ $k$-small sets, and by $Ω_k(G)$ the minimum integer $t$ such that there is a partition of $V(G)$ into $t$ $k$-large sets. In this paper, we will show tight connections between $k$-small sets, respectively $k$-large sets, and the $k$-independence number, the clique number and the chromatic number of a graph. We shall develop greedy algorithms to compute in linear time both $φ_k(G)$ and $Ω_k(G)$ and prove various sharp inequalities concerning these parameters, which we will use to obtain refinements of the Caro-Wei Theorem, the Turán Theorem and the Hansen-Zheng Theorem among other things.

研究の動機と目的

• 独立集合およびクリーク集合の一般化として、グラフにおけるk-スモール集合およびk-ラージ集合を定義・分析すること。
• k-スモール集合およびk-ラージ集合への最小分割サイズφₖ(G)およびΩₖ(G)を計算するための効率的なグリーディアルゴリズムを開発すること。
• φₖ(G)およびΩₖ(G)が独立数、クリーク数、彩色数などの古典的グラフパラメータと緊密に結びついていることを確立すること。
• Caro-Wei、Turán、Hansen-Zhengの定理を精緻化する、φₖ(G)およびΩₖ(G)を含む鋭い不等式を導出すること。
• φₖ(G)およびΩₖ(G)を用いたエッジ数に関する新たな上界および下界を導出し、古典的結果を改善すること。

提案手法

• k-スモール集合Aを、任意の頂点v ∈ Aに対してdeg(v) ≤ n − |A| + kを満たす部分集合と定義する。また、k-ラージ集合Bを、任意の頂点v ∈ Bに対してdeg(v) ≥ |B| − k − 1を満たす部分集合と定義する。
• V(G)をk-スモール集合に分割できる最小の集合数をφₖ(G)と定義し、同様にk-ラージ集合への最小分割数をΩₖ(G)と定義する。
• 補グラフを用いた双対性を確立する：φₖ(G) = Ωₖ(Ḡ)およびΩₖ(G) = φₖ(Ḡ)であり、グラフとその補グラフ間のパラメータの関係を明確にする。
• 反復的に最大のk-スモール集合またはk-ラージ集合を選択するグリーディアルゴリズムを構築し、O(n + m)時間でφₖ(G)およびΩₖ(G)を計算可能であることを示す。
• φₖ(G)およびΩₖ(G)を用いたエッジ数e(G)の境界を導出し、e(G) ≤ (φₖ(G) − 1)n² / (2φₖ(G))および類似の不等式を示す。
• α-およびβ-バージョンのスモール/ラージ集合（例：α-スモール：∑₁/(deg(v)+1) ≤ 1）を導入し、φₖ^α(G)、Ωₖ^α(G)などを定義することで、境界をさらに精緻化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k-スモール集合およびk-ラージ集合は、独立数、クリーク数、彩色数といった古典的グラフパラメータとどのように関係しているか？
• RQ2 任意のグラフGに対して、φₖ(G)およびΩₖ(G)を線形時間で計算できる効率的なアルゴリズムを設計できるか？
• RQ3 φₖ(G)およびΩₖ(G)を含む最も鋭い不等式は何か？また、それらはCaro-WeiやTuránの定理をどのように精緻化するか？
• RQ4 スモールおよびラージ集合のα-およびβ-バージョンは、エッジ数および次数列の境界をどの程度改善するか？
• RQ5 不等式φₖ^β(G) ≤ CW(Ḡ)は常に成立するか？また、これはCaro-Weiの境界とどのように関係しているか？

主な発見

• φₖ(G)およびΩₖ(G)は、反復的に最大のk-スモール集合またはk-ラージ集合を選択するグリーディアルゴリズムにより、線形時間O(n + m)で計算可能である。
• パラメータはφₖ(G) = Ωₖ(Ḡ)およびΩₖ(G) = φₖ(Ḡ)を満たし、グラフとその補グラフの間で強い双対性が成立する。
• 不等式φₖ(G) ≥ n / (n − d(G))が成り立ち、特定の構成（例：2つのクリークのジョイン）では等号に近づく。
• φₖ(G) < ω(G)のとき、e(G) ≤ (φₖ(G) − 1)n² / (2φₖ(G))という境界は、Turánの古典的境界を改善し、より鋭いエッジ数の推定を可能にする。
• Caro-Weiの境界に関して、不等式CW(Ḡ) ≤ φₖ^α(G) ≤ φₖ^β(G) ≤ φₖ(G)が成り立ち、φₖ^β(G) ≤ CW(Ḡ)は予想されているが、未だ証明されていない。
• k-スモール集合の最大サイズSₖ(G)は、Sₖ(G) ≤ Sₖ^α(G) ≤ Sₖ^β(G) ≤ ⌊(n−Δ)/2 + √((n−Δ)²/4 + nΔ − 2e(G))⌋を満たし、閉形式の上界を提供する。