[論文レビュー] Pasting and Reversing Operations over some Vector Spaces

Primitivo B. Acosta-Humánez, Adriana L. Chuquen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2012

Scheduling and Optimization Algorithms参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ベクトル空間（ベクトル、行列、多項式を含む）における貼り付け（Pasting）と反転（Reversing）の操作を定式化し、回文的ベクトルと反回文的ベクトルの集合が補完的部分空間をなすことを確立する。主な貢献は、任意のベクトル空間がその回文的および反回文的部分空間の直和に分解されることを証明し、次式が成り立つことである：dim(V) = dim(Wₚ) + dim(Wₐ)。

ABSTRACT

Pasting and Reversing operations have been used successfully over the set of integer numbers, simple permutations, rings and recently over a generalized vector product. In this paper, these operations are defined from a natural way to be applied over vector spaces. In particular we study Pasting and Reversing over vectors, matrices and we rewrite some properties for polynomials as vector space. Finally we study some properties of Reversing through linear transformations as for example an analysis of palindromic and antipalindromic vector subspaces.

研究の動機と目的

• 整数や置換から、ベクトル、行列、多項式へと貼り付けと反転の操作を一般化し、それらをベクトル空間上で形式化すること。
• 線形演算の下での回文的および反回文的ベクトルの代数的構造を調査すること。
• 与えられたベクトル空間 V の回文的ベクトルの集合 Wₚ および反回文的ベクトルの集合 Wₐ が、それぞれベクトル部分空間をなすことの確立。
• V = Wₐ ⊕ Wₚ が成り立つことを証明し、dim(V) = dim(Wₐ) + dim(Wₚ) を示し、ベクトル空間の構造的分解を提供すること。
• これらの操作が線形代数教育への応用および数学的物理や力学系への拡張における可能性を探索すること。

提案手法

• 体 Kⁿ に属するベクトル v に対する反転 R(v) = (vₙ, vₙ₋₁, ..., v₁) を定義し、それが対合的かつ線形演算であることを確立する。
• 反転が内積とベクトル積を保存することを証明する。すなわち、任意の v,w ∈ K³ に対して、v·w = ṽ·w̃ および ṽ×w̃ = w̃×ṽ が成り立つ。
• 行列 A ∈ Mₙₓₘ(K) と B ∈ Mᵣₓₛ(K) のブロックによる貼り付け（⋄₆）を導入する。これは、対角成分に A と B を持ち、他のブロックがゼロ行列であるブロック対角行列として定義される。
• 行列における反転の性質を確立する。特に、R(AB) = R(B)R(A)、R(Aᵀ) = R(A)ᵀ、det(R(A)) = det(A) が成り立つ。
• ブロック行列の理論を用いて、R(A ⋄₆ B) = R(B) ⋄₆ R(A) および (A ⋈₆ B)ᵀ = Aᵀ ⋈₆ Bᵀ を証明する。
• 多項式に対しては、Kⁿ におけるベクトルと同様に扱い、同じ反転および貼り付け構造を引き継ぐ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 貼り付けと反転の操作を整数や置換から、特にベクトルや行列におけるベクトル空間へと一般化する方法は何か？
• RQ2 回文的および反回文的ベクトルの集合が、ベクトル空間内での代数的構造としてどのような性質を持つのか？
• RQ3 直和分解 V = Wₐ ⊕ Wₚ が成り立つ条件は何か？また、その次元への影響は何か？
• RQ4 転置、逆行列、行列式といった行列演算の下で、反転および貼り付けの操作はどのように振る舞うか？
• RQ5 これらの操作が線形代数教育および数学的物理分野への応用に与える影響は何か？

主な発見

• 回文的ベクトルの集合 Wₚ および反回文的ベクトルの集合 Wₐ は、ともに V のベクトル部分空間をなす。
• ベクトル空間 V は直和に分解される：V = Wₐ ⊕ Wₚ。これは、V の任意のベクトルが、回文的ベクトルと反回文的ベクトルの和として一意に表現可能であることを意味する。
• V の次元は、その回文的および反回文的部分空間の次元の和に等しい：dim(V) = dim(Wₐ) + dim(Wₚ)。
• 反転は対合的かつ線形変換である：任意の a,b ∈ K および v,w ∈ V に対して、R(R(v)) = v および R(av + bw) = aR(v) + bR(w) が成り立つ。
• 行列に対しては、反転がトレースと行列式を保存し、R(AB) = R(B)R(A) を満たし、R(Aᵀ) = R(A)ᵀ が成り立つ。
• ブロックによる貼り付け（⋄₆）は、転置、逆行列、行列式を保存する。特に、det(A ⋈₆ B) = det(A)det(B) および Tr(A ⋈₆ B) = Tr(A) + Tr(B) が成り立つ。