[論文レビュー] Path independence of the additive functionals for McKean-Vlasov stochastic differential equations with jumps

Huijie Qiao, Jiang-Lun Wu|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$L$-確率測度に関する導関数を含む非線形偏積分微分方程式を用いた特徴付けを通じて、ジャンプを伴うMcKean-Vlasovストキャスティック・ディファレンシャル方程式に対する加法的関数の経路独立性を確立する。著者らは、P.-L. リヨンが導入した$ L $-導関数を用いた、ジャンプ付きMcKean-Vlasov SDEsのための新規な伊藤公式を提案し、ジャンプ測度および係数に関する一般な条件下で結果を証明する。この手法により、従来の拡散過程に限られた研究をジャンプ拡散設定へと拡張する。

ABSTRACT

In this article, the path independent property of additive functionals of McKean-Vlasov stochastic differential equations with jumps is characterised by nonlinear partial integro-differential equations involving $L$-derivatives with respect to probability measures introduced by P.-L. Lions. Our result extends the recent work [16] by Ren and Wang where their concerned McKean-Vlasov stochastic differential equations are driven by Brownian motions.

研究の動機と目的

• ジャンプ付きMcKean-Vlasov SDEにおける経路独立的加法的関数の特徴付けを、拡散駆動型McKean-Vlasov SDEからジャンプを含む設定へと拡張すること。
• 抽象的確率空間を回避し、既存の証明を簡略化する、ジャンプ付きMcKean-Vlasov SDEsのための新しい伊藤公式の開発。
• 経路独立性と、$L$-導関数を含む非線形偏積分微分方程式の解との間の関係の確立。
• 補正付きポアソン確率測度を組み込むことで、RenとWang（2016）の結果をジャンプ拡散設定へ一般化すること。
• 一般のLévyノイズを伴う平均場SDEs、さらには無限次元への拡張にも適用可能なフレームワークの提供。

提案手法

• P.-L. リヨンが導入した確率測度に関する$ L $-導関数を用いて、ジャンプ付きMcKean-Vlasov SDEsのための新しい伊藤公式を導出する。
• 非リプシッツ係数を取り扱うために、$ L^2 $-ウォッサーシュタイン距離における収束を伴う切断と極限の議論を用いる。
• 加法的関数 $ h(t, X_t, \nu_t) $ に伊藤公式を適用し、ここで $ \nu_t = \text{Law}(X_t) $ であるとし、関連する生成子方程式を導出する。
• 時間、空間、測度の微分を含む非線形偏積分微分方程式を用いて、経路独立性を特徴付ける。
• ジャンプをモデル化するために補正付きポアソン測度 $ \tilde{N}(dt, du) $ を用い、$ \nu $ におけるモーメント条件により可積分性を保証する。
• $ L^2 $-ウォッサーシュタイン距離 $ \rho^2(\mu_1, \mu_2) $ を用いて法則の収束を定義し、解の安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプ付きMcKean-Vlasov SDEの加法的関数がどのような条件下で経路独立となるか。
• RQ2 確率測度に関する$ L $-導関数を用いることで、ジャンプ拡散設定における経路独立性をどのように特徴付けることができるか。
• RQ3 ジャンプ付きMcKean-Vlasov SDEsのための正しい伊藤公式の形は何か。また、古典的バージョンとはどのように異なるか。
• RQ4 経路独立性の条件が、$ L $-導関数を含む非線形偏積分微分方程式とどのように関係するか。
• RQ5 新しい伊藤公式は、特に拡散過程に限られた既存の結果をどの程度一般化するか。

主な発見

• 本稿では、抽象的確率空間を必要とせず、既存の形式よりも単純な新しい伊藤公式を、ジャンプ付きMcKean-Vlasov SDEsのためのものとして証明する。
• 加法的関数の経路独立性は、プロセスの法則に関する$ L $-導関数を含む非線形偏積分微分方程式によって特徴付けられる。
• 特徴付け方程式の解は、漂移、拡散、ジャンプ成分を含む拡張された生成子 $ \mathcal{L} $ を用いて $ \partial_t h + \mathcal{L}h = 0 $ を満たす。
• $ L^2 $-ウォッサーシュタイン位相における近似列の収束により、解の法則の安定性が保証され、証明における極限の議論が正当化される。
• 補正付きポアソン測度を組み込むことで、RenとWang（2016）の結果をブラウン運動駆動型SDEからジャンプ拡散SDEへと一般化する。
• モーメント条件の下で非リプシッツ係数を許容でき、従来の仮定にとらわれない、より広範な適用可能性を実現する。