[論文レビュー] Path Integral Approach to Noncommutative Quantum Mechanics

Бранко Драгович, Zoran Rakić|ArXiv.org|Jan 26, 2004

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非可換位置演算子と非可換運動量演算子を有する非可換量子力学（NCQM）の経路積分形式を構築し、このような系が座標と運動量の線形変換によって可換量子系と等価であることを示している。主な貢献は、非可換系における二次ラグランジアンの経路積分を計算する一般的手法を提供することであり、これにより一定場中の粒子や非可換パラメータを有する調和振動子といった系に対して正確な解が得られる。

ABSTRACT

We consider Feynman's path integral approach to quantum mechanics with a noncommutativity in position and momentum sectors of the phase space. We show that a quantum-mechanical system with this kind of noncommutativity is equivalent to the another one with usual commutative coordinates and momenta. We found connection between quadratic classical Hamiltonians, as well as Lagrangians, in their commutative and noncommutative regimes. The general procedure to compute Feynman's path integral on this noncommutative phase space with quadratic Lagrangians (Hamiltonians) is presented. Using this approach, a particle in a constant field, ordinary and inverted harmonic oscillators are elaborated in detail.

研究の動機と目的

• 非可換位置演算子と非可換運動量演算子を有する非可換量子力学（NCQM）の経路積分形式を構築すること。
• 座標と運動量の線形変換を用いて非可換系と等価な可換量子系との間の写像を確立すること。
• NCQMにおける二次ラグランジアンのフェ Feynman 経路積分を計算する一般的手法を導出すること。
• この手法を、一定場中の粒子や調和振動子（通常および逆転型）を含む具体的な物理系に適用すること。

提案手法

• 非可換性を支配する反対称行列 θ と σ を用いて、位置演算子と運動量演算子の非可換代数を導入する。
• 座標と運動量の線形変換を用いて、非可換位相空間 (x̂, p̂) を可換位相空間 (q̂, k̂) に写像する。具体的には、x̂_a = q̂_a - (θ_ab k̂_b)/2 および p̂_a = k̂_a + (σ_ab q̂_b)/2 を用いる。
• 変換された変数を用いて、非可換ラグランジアンとハミルトニアンを表現し、NCQM 問題を標準的な可換系に還元する。
• 変換と元のラグランジアン構造を用いて、可換フレームワークにおける有効な二次ラグランジアンを導出する。
• 変換された系の古典的運動方程式を解き、古典的軌道と作用を求める。
• 二次系に対する標準的な経路積分公式を用いて核を計算し、その後結果を非可換変数に戻す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換量子力学において、非自明な位置-運動量および運動量-運動量の非可換性を有するフェ Feynman 経路積分を一貫してどのように定式化できるか？
• RQ2 二次ハミルトニアンに対して、非可換系と可換系との間の明示的な写像は何か？
• RQ3 非可換パラメータ θ と σ は、一定場中の粒子および調和振動子系における経路積分核と古典的作用にどのように影響を与えるか？
• RQ4 非可換位相空間への線形変換を用いることで、非可換系の経路積分を解ける形に還元できるか？
• RQ5 二次ラグランジアンを有する非可換系における伝播関数と作用の正確な式は何か？

主な発見

• 位置と運動量の非可換性を有する非可換量子系は、変数の線形変換によって可換量子系と等価である。
• NCQMにおける任意の二次ラグランジアンの経路積分は、可換系に変換した後、標準的な経路積分公式を適用することで正確に計算可能である。
• 一定場中の粒子に対しては、非可換パラメータ θ と σ を用いた伝播関数が導出され、θ=σ=0 のときには標準的な可換系の結果に還元される。
• 調和振動子に対しては、非可換領域における古典的作用と伝播関数が明示的に計算され、√(ε|ν|) および非可換パラメータに依存することが示された。
• この手法により、2次元モデルにおいて θσ=4 の点に臨界点が存在することが判明し、系の挙動における相転移または特異性を示唆している。
• 最終的な伝播関数は、𝒦_θσ(x′′,T;x′,0) = (1/iħ) |m√(ε|ν|)| / (κ|sin(√(ε|ν|)T)|) × exp(2πi/h S̄_θσ) として表され、S̄_θσ は初期および最終位置と非可換パラメータに依存する。