[論文レビュー] Path Integral Formulation of Anomalous Diffusion Processes

Rudolf Friedrich, Stephan Eule|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2011

Diffusion and Search Dynamics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、待ち時間分布に依存する確率的時間スケーリング過程を導入することで、連続時間ランダムウォーク（CTRW）を含む一般化された異常拡散過程の経路積分形式を提示する。正確な経路確率密度関数と一般化されたフェイニマン＝ヘース公式を導出し、Dyson方程式の解法を用いてCTRWの経路分布に対して閉形式の表現を得た。

ABSTRACT

We present the path integral formulation of a broad class of generalized diffusion processes. Employing the path integral we derive exact expressions for the path probability densities and joint probability distributions for the class of processes under consideration. We show that Continuous Time Random Walks (CTRWs) are included in our framework. A closed expression for the path probability distribution of CTRWs is found in terms of their waiting time distribution as the solution of a Dyson equation. As the formalism naturally includes the treatment of functionals a generalized Feynman-Kac formula is derived.

研究の動機と目的

• 追加の確率的過程によって駆動される一般化された拡散過程の経路積分フレームワークを構築し、標準的なブラウン運動を超える拡張を図ること。
• 広く用いられているが一点統計では不十分に記述される非マルコフ的CTRW過程に対する経路積分形式の欠如を解消すること。
• この一般化された過程クラスにおける経路確率密度関数および同時分布の正確な表現を導出すること。
• 異常拡散経路の関数への一般化されたフェイニマン＝ヘース公式を確立すること。
• CTRWの経路確率に対して、待ち時間分布を用いた閉形式の解を提供すること。

提案手法

• 待ち時間分布を支配するαₖが関与する追加の確率的項αₖrₖを含む離散的ランジュバン方程式を定式化し、異常拡散をモデル化する。
• ガウスノイズのフーリエ表現を用いて遷移振幅を導出し、経路積分形式におけるマーティン＝シギア＝ローズ（MSR）作用を導出する。
• ガウス分布に従うrₖ変数について平均化することで、αₖ²に依存する修正された有効拡散係数が得られる。
• αₖ²過程の特性関数Z(ηₖ)を導入し、待ち時間分布の統計的性質を符号化する。
• CTRWの場合にDyson方程式を解いて経路確率を求める。経路分布はイベント数の級数展開として表現される。
• 生成関数および時間離散的発展方程式を用いて経路の関数への解析を通し、一般化されたFokker-Planck方程式と一般化されたフェイニマン＝ヘース公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非マルコフ的異常拡散過程（例えばCTRW）に対して、一貫した経路積分形式を構築できるか？
• RQ2 待ち時間分布を用いて表したCTRWの経路確率密度関数の正確な形は何か？
• RQ3 経路積分技法を用いて、異常拡散経路の関数を体系的に評価する方法は何か？
• RQ4 CTRW過程における多点経路の同時確率分布の構造は何か？
• RQ5 内部ダイナミクスを有するCTRWに対して、経路積分形式から一般化されたFokker-Planck方程式を導出できるか？

主な発見

• 待ち時間分布K₀と待ち時間カーネルVを用いて、Dyson方程式の解法によりCTRWの経路確率密度関数の閉形式表現が得られた。
• 経路確率分布はイベント数のべき級数展開として表現され、0次項は最初のステップ以降にイベントがない経路に対応する。
• 1次補正項は1つのイベントを持つ経路からの寄与を明示的に含み、量子場理論における自己エネルギー補正と形式的に類似している。
• 一般化されたフェイニマン＝ヘース公式が導出され、時間積分関数の指数などの経路関数の評価が可能になった。
• 連続時間極限において、記憶核Q(t−t′)と修正された生成子H = L₀ + ipU(q)を有する一般化されたFokker-Planck方程式が得られ、CTRWに対して既知の結果と整合的である。
• 経路がイベントで始まることを考慮することで、年齢付きCTRWなどの非平衡状態が自然に形式に組み込まれる。