[論文レビュー] Path integral formulation of constrained systems with singular-higher order Lagrangian

Sami I. Muslih|ArXiv.org|Sep 10, 2000

Numerical methods for differential equations被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアン・ヤコビ法を用いて、特異的かつ高次のラグランジアンを持つ制約系の経路積分形式を展開する。正準経路積分をハミルトニアン・ヤコビ偏微分方程式に一般化し、多変数の完全微分方程式の可積分性条件を組み込むことで、任意の微分次数および特異的ヘッシアン構造を持つ系に対して有効な正準位相空間座標に関する経路積分が導出される。これは、一次系に限った先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

Systems with singular higher order- Lagrangians are investigated by using the extended form of the canonical method. Besides, the canonical path integral formulation is generalized using the Hamilton- jacobi formulation to investigate singular systems

研究の動機と目的

• 一次系に限らない、特異的高次ラグランジアン系への経路積分的量子化の一般化を図ること。
• 特異的（特異的）ヘッシアン行列を有する高次導関数系における制約付き運動の課題に取り組むこと。
• ハミルトニアン・ヤコビ法を用いて、このような系に対して正準経路積分を定式化し、正準力学と整合性を持つこと。
• 制約および可積分性条件を考慮した正準位相空間座標に関する経路積分表現を導出すること。
• 完全微分方程式および無限小生成子を用いて、一次系の既存結果を任意の次数のラグランジアンへ拡張すること。

提案手法

• 研究は、$k$ 階までの微分を含む高次ラグランジアンから出発し、各微分を独立な座標とみなす。
• 正準運動量はオストログラツキーの形式を用いて定義され、ヘッシアン行列 $A_{ij}$ が正則性・特異性の分類に用いられる。
• 特異系の場合、ヘッシアンのランク $n-r$ により $r$ 個の一次的制約が得られ、$q_{(k-1)a}^{(k)}$ が他の変数を用いて $q_{a}^{(k)} = W_{(k)a}(q_{(s)i}, p_{(k-1)b}, q_{{ u}}^{(k)})$ として解ける。
• 正準ハミルトニアン $H_0$ が構成され、ハミルトニアン・ヤコビ偏微分方程式（HJPDE）が $H'_{(s) u} = p_{(s) u} + H_{(s) u} = 0$ の形で導出され、経路積分の基盤をなす。
• HJPDEから導かれる完全微分方程式に可積分性条件を課し、一貫性を保証し、必要に応じて追加の制約を同定する。
• 最終的な経路積分は、$q_{(u)a}, p_{(u)a}$ に関する位相空間積分として表され、$H_{(d)eta}$ およびハミルトニアン・ヤコビ生成関数の微分を含む作用関数が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の微分次数 $k$ を持つ特異的高次ラグランジアン系へ、経路積分形式を一貫的に拡張する方法は何か？
• RQ2 完全微分方程式の可積分性条件が、このような系における正準経路積分の一貫性を保証する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ3 ハミルトニアン・ヤコビ偏微分方程式およびその完全微分形は、特異的高次導関数系の正準構造とどのように関係するか？
• RQ4 $H'_{(s) u}$ 関数が、高次制約付き系の文脈において正準変換の無限小生成子として果たす役割は何か？
• RQ5 $k=1$ の場合、提案された経路積分は、既知の一次系への帰着がどのように行われるか？

主な発見

• 経路積分は正準位相空間座標 $(q_{(u)a}, p_{(u)a})$ に関する積分として定式化され、作用はハミルトニアン・ヤコビ生成関数およびその微分を用いて表現される。
• 運動方程式は多変数における完全微分方程式として導出され、整合性を保証するための可積分性条件（18）の検証が不可欠である。
• 可積分性条件が恒等的に消えるか、一貫した制約を生じる場合、系は可積分とされ、経路積分は適切に定義される。
• ハミルトニアン $H'_{(s) u}$ は、$t_{(s) u}$ をパrameterとする正準変換の無限小生成子として機能し、時間発展における標準ハミルトニアンの役割を一般化する。
• $k=1$ の場合、導出された経路積分式（19）は、先行研究[6,7]で知られている一次系の経路積分形式に還元される。
• 本手法は、制約構造をハミルトニアン・ヤコビ枠組みに統合することで、特異的高次系への正準経路積分の一般化に成功している。