[論文レビュー] Path Integral Invariance under Point Transformations

Andres Jordan, Matias Libedinsky|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 1997

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 3被引用数 52

ひとこと要約

本稿は、微路の幾何構造を保つことで、点変換のもとでも量子等価性を保つ共変な経路積分形式を確立する。具体的には、時間分割離散化における接続経路として配置空間内の測地線を用いる。自由粒子の核が微路を保つ場合、極座標系でもデカルト座標系の結果と一致し、追加のポテンシャル項や非標準的測度の必要がないことが示される。

ABSTRACT

We give here a covariant definition of the path integral formalism for the Lagrangian, which leaves a freedom to choose anyone of many possible quantum systems that correspond to the same classical limit without adding new potential terms nor searching for a strange measure, but using as a framework the geometry of the spaces considered. We focus our attention on the set of paths used to join succesive points in the discretization if the time-slicing definition is used to calculate the integral.If this set of paths is not preserved when performing a point transformation, the integral may change. The reasons for this are geometrically explained. Explicit calculation of the Kernel in polar coordinates is made, yielding the same system as in Cartesian coordinates.

研究の動機と目的

• 点変換における経路積分の結果に生じる不一致を解消する。具体的には、座標変換を単純に適用すると、等価でない量子系が得られるという問題である。
• 経路積分の幾何的構造を保つ限り、量子力学が座標の選択に依存しないことを示す。
• 古典的極限を尊重しつつ、微路選択の自由度を許容する共変な経路積分の定義を提供する。
• 標準的な自由粒子核が、余分な項を加えたり測度を変更したりせずに、極座標系でも導出可能であることを示す。
• 微路選択の役割が経路積分量後にどのように作用するか、およびハミルトニアン形式における演算子順序の不確かさとどのように関連するかを明確にする。

提案手法

• 配置空間内における連続する点を結ぶ古典的微路（測地線）を用いて、時間分割離散化による経路積分を定義する。
• これらの微路に沿った古典的作用を指数関数の肩に置き、幾何的整合性を確保する。
• 時間分割の極限を適用し、微路構造が座標変換のもとでも保存されるように核を導出する。
• ベッセル関数および留数計算を用いて、極座標系における径方向および角度方向の変数について明示的に核を積分計算する。
• デカルト座標系と同一の微路構造（測地線）を極座標系でも維持し、作用や測度の再定義を避ける。
• 最終的な結果を標準的なデカルト座標系の核と比較し、直接計算によって等価性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ経路積分における単純な点変換が、自由粒子のデカルト座標系と極座標系で異なる量子系を生じさせるのか？
• RQ2 余分なポテンシャル項を加えず、測度を変更せずとも、点変換に対して共変な経路積分形式を構築可能か？
• RQ3 微路選択（例えば、直線と測地線の違い）が、微分不能な経路に対する経路積分の値にどのように影響するか？
• RQ4 微路選択の自由度は、ハミルトニアン形式における演算子順序の不確実性とどのように関連するか？
• RQ5 微路が幾何的に保存される限り、異なる座標系で同一の量子系を一貫して記述可能か？

主な発見

• 測地線を微路として用いた極座標系における自由粒子の核は、デカルト座標系の標準的結果と正確に一致する。
• 最終的な核は $ K(b,a) = \frac{m}{2\pi\hbar Ti} \exp\left[\frac{im}{2T\hbar}(r_n^2 + r_0^2 - 2r_n r_0 \cos(\theta_n - \theta_0))\right] $ と表され、座標変換によりデカルト形式と同一となる。
• 測地線を微路として用いることで、点変換のもとでの不変性が保たれ、作用に余分な項を加える必要がなく、特異な測度も不要となる。
• エドワーズとギュリャエフが報告した不一致は、座標変換時に微路を変更したことによるものであり、共変性の根本的失敗とは無関係である。
• 微路選択、特に古典的（測地線的）経路の使用が、微分不能な経路寄与の不確実性を解消し、正準量子化における演算子順序と関連づける。
• 本手法は、幾何的で座標に依存しない経路積分量後に基礎を置き、極座標系における明示的整合性が示された。