[論文レビュー] Path integral measure factorization in path integrals for diffusion of Yang--Mills fields

S. N. Storchak|ArXiv.org|Nov 19, 2007

Numerical methods in inverse problems参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非線形フィルタリング確率微分方程式を用いて、ヤン–ミルズ場の拡散に対する経路積分測度の因子化手法を開発する。ゲージ固定のためのクーロンゲージを用いて、全主バンドルから部分多様体への経路積分の変換を行い、元の経路積分と縮約された経路積分の間の積分関係を導出する。これにより、有効な量子ハミルトニアンを修正する非自明なヤコビアン因子が明らかになる。

ABSTRACT

Factorization of the (formal) path integral measure in a Wiener path integrals for Yang--Mills diffusion is studied. Using the nonlinear filtering stochastic differential equation, we perform the transformation of the path integral defined on a total space of the Yang--Mills principal fiber bundle and come to the reduced path integral on a Coulomb gauge surface. Integral relation between the path integral representing the "quantum" evolution given on the original manifold of Yang--Mills fields and the path integral on the reduced manifold defined by the Coulomb gauge is obtained.

研究の動機と目的

• ユークリッドヤン–ミルズ場理論における経路積分の測度因子化手順を厳密に確立すること。
• クーロンゲージを用いて、接続の全空間からのゲージ固定多様体への経路積分の縮約を行うこと。
• 対称性に起因する測度変化を考慮した、元の経路積分と縮約された経路積分の間の積分関係を導出すること。
• 変換に伴い生じるヤコビアン因子を同定し、これによって縮約系の有効な力学がどのように変化するかを特定すること。
• 有限次元の測度因子化技法を、確率過程を用いて無限次元ヤン–ミルズ理論へ一般化すること。

提案手法

• 非線形フィルタリング確率微分方程式を用いて、群の軌道と軌道空間に関連する成分に経路積分測度を分解する。
• ゲージ対称性の取り扱いや自由度の削減に、ファドデエフ–ポポフ法およびロッシ–テスタ法を適用する。
• 残留する時間不変ゲージ自由度を固定するため、クーロンゲージ条件を導入し、主バンドルの局所スライスに定義域を制限する。
• ゲージ軌道方向の直交補空間への射影作用素 $P_{\bot}$ を微分作用素とグリーン関数を用いて表現する。
• 微分作用素とグリーン関数 $K(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を用いて、$\chi \cdot \chi^\top$ の逆行列を構成する。ここで $K$ は $(-\partial^2)K = \delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を満たす。
• 微分作用素と逆ラプラシアンを用いて、射影作用素および直交射影作用素を記号的に表現する。たとえば $P_{\bot}^{(\alpha,k,x)}_{(\beta,m,y)} = \delta^\alpha_\beta \left[ \delta^k_m + \partial_m \frac{1}{(-\partial^2)} \partial^k \right] \delta^3(\mathbf{y}-\mathbf{x})$ のように表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ対称性の下で、ヤン–ミルズ拡散における経路積分測度はどのように因子化可能か？
• RQ2 全接続空間上の元の経路積分と、クーロンゲージ面上の縮約された経路積分との間の正確な関係は何か？
• RQ3 経路積分の変換が、有効な量子ハミルトニアンにヤコビアン因子をどのように導入するか？
• RQ4 非線形フィルタリング確率微分方程式は、測度分解プロセスにおいて果たす役割は何か？
• RQ5 有限次元の測度因子化技法は、どのように無限次元ヤン–ミルズ理論へ一般化可能か？

主な発見

• 経路積分測度は、ゲージ軌道に沿う測度と軌道空間上の測度の積に分解され、その分解は非線形フィルタリングSDEによって支配される。
• 全空間からクーロンゲージ面への変換は、有効な非自明なヤコビアン因子を生じさせ、これにより縮約された確率過程の微分生成子が修正される。
• 測度ヤコビアンに起因する項が有効な量子ハミルトニアンに追加され、射影作用素 $P_{\bot}$ を用いて明示的に導出される。
• 射影作用素 $P_{\bot}$ は $P_{\bot}^{(\alpha,k,x)}_{(\beta,m,y)} = \delta^\alpha_\beta \left[ \delta^k_m + \partial_m \frac{1}{(-\partial^2)} \partial^k \right] \delta^3(\mathbf{y}-\mathbf{x})$ として表現され、横波モードへの直交射影を表す。
• 直交射影 $N$ は $N^{(\alpha,i,x)}_{(\beta,j,y)} = \left( \delta^\alpha_\beta \delta^i_j - \mathcal{D}^{\alpha i}_\epsilon \left( \frac{1}{\mathcal{D} \partial} \right)_\beta^\epsilon \partial_j \right) \delta^3(\mathbf{x}-\mathbf{y})$ を満たし、ゲージ方向に対して直交することを保証する。
• $P_{\bot} P_{\bot} = P_{\bot}$ および $P_{\bot} \chi^\top = 0$ といった重要な恒等式により、測度変換における射影構造の整合性が確認される。