[論文レビュー] Path Integral Methods for Stochastic Differential Equations

Carson C. Chow, Michael A. Buice|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、確率微分方程式（SDE）を摂動的に解くための経路積分および場理論的手法について、教育的入門を提供する。主にモーメントと遷移確率の計算に焦点を当て、応答関数形式とファインマン図をSDEに適用し、Fokker-Planck方程式の導出と生成関数によるコマリントの計算を示している。特に、オーナイズ・ウーレンプ過程に対する明示的解が主要な結果である。

ABSTRACT

We give a pedagogical review of the application of field theoretic and path integral methods to calculate moments of the probability density function of stochastic differential equations perturbatively.

研究の動機と目的

• 場理論的手法に不慣れな神経科学および応用数学分野の研究者に対して、自己完結的でアクセス可能な経路積分法の入門を提供すること。
• 生成関数と応答関数形式が、SDEに従う確率過程のモーメントとコマリントを計算するためにどのように利用できるかを示すこと。
• Ito型SDEの経路積分形式からKramers-Moyal展開を経てFokker-Planck方程式が自然に導かれる仕組みを示すこと。
• ファインマン図とループ展開を用いて非線形SDEにおける摂動的計算をどのように行うかを説明すること。
• 非平衡統計力学と応用的SDEの間の溝を埋めるために、量子場理論の手法を確率過程に適用すること。

提案手法

• 単一の確率変数の通常の母関数の無限次元一般化として、モーメント生成関数を用いる。
• 応答場形式を用いてSDEの経路積分形式を構築し、確率過程のダイナミクスから作用関数を導出する。
• 応答関数法（Martin-Siggia-Rose形式）を適用して、関数的積分を介した相関関数とモーメントの計算を行う。
• ループ展開における摂動展開を整理するための視覚的ツールとしてファインマン図を導入し、頂点は非線形な駆動項とノイズ項に対応する。
• Kramers-Moyal展開を用いてFokker-Planck方程式を導出し、Ito極限において高階のジャンプモーメントが消えることにより、第一および第二モーメントのみが残ることを示す。
• コマリント生成関数を用いて、モーメントから確率密度関数を再構成する方法を示し、オーナイズ・ウーレンプ過程における正確な解を例示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形SDEに対して、経路積分法をどのように体系的に応用してモーメントと遷移確率を計算できるか？
• RQ2 Ito確率過程の文脈において、応答関数形式とFokker-Planck方程式の間の関係は何か？
• RQ3 ファインマン図とループ展開は、確率力学における摂動的計算をどのように容易にするか？
• RQ4 初期条件の分布は経路積分形式にどのように関与し、作用関数にどのように符号化されるか？
• RQ5 Fokker-Planck近似が有効となる条件は何か？また、高階のKramers-Moyal項が必要となる状況はどのようなものか？

主な発見

• オーナイズ・ウーレンプ過程の生成関数は、平均 $ x(t) = y e^{-a(t-t_0)} $ および分散 $ \frac{D}{2a}(1 - e^{-2a(t-t_0)}) $ のガウス型確率密度関数を生成し、既知の解と一致する。
• ガウス型の場合のコマリント生成関数 $ W(\lambda) = \lambda a + \frac{1}{2}\lambda^2 \sigma^2 $ は、第二モーメントを超えるすべてのコマリントが消えることを確認する。
• Kramers-Moyal展開の一次項としてFokker-Planck方程式が導かれるが、これはIto極限において第一および第二階のジャンプモーメントのみが非ゼロである場合に成立する。
• 経路積分形式により、ループ展開による高階補正を体系的に含めることができ、半古典的近似が可能になる。
• 応答関数形式により、Fokker-Planck方程式を直接解かずに、モーメントと相関関数の摂動的計算が可能になる。
• 一般のSDEの作用関数は、2本以上の出力線を持つ頂点を含めるように拡張可能であり、これにより$ D_n $（$ n > 2 $）が非ゼロとなる非マルコフ的または非Fokker-Planck的過程を記述できる。