[論文レビュー] Path integral representation for the Hubbard model with reduced number of Lefschetz thimbles

Maksim Ulybyshev, S. N. Valgushev|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、符号問題を軽減するために、非ガウス型 Hubbard-Stratonovich 変換を用いた Hubbard モデルの経路積分形式を提案する。この手法により、関連する Lefschetz のひげの数が減少し、半フォールド状況近くで、わずか2つの主要なひげが支配的になる。実数および複素数の補助場の混合パラメータ α を調整することで、小スケール格子上での符号問題フリーな Quantum Monte Carlo シミュレーションの実行可能性が著しく向上する。

ABSTRACT

The concept of Lefschetz thimble decomposition is one of the most promising possible modifications of Quantum Monte Carlo (QMC) algorithms aimed at alleviating the sign problem which appears in many interesting physical situations, e.g. in the Hubbard model away from half filling. In this approach one utilizes the fact that the integral over real variables with an integrand containing a complex fluctuating phase is equivalent to the sum of integrals over special manifolds in complex space ("Lefschetz thimbles"), each of them having a fixed complex phase factor. Thus, the sign problem can be reduced if the resulting sum contains terms with only a few different phases. We explore the complexity of the sign problem for the few-site Hubbard model on square lattice combining a semi-analytical study of saddle points and thimbles in small lattices with several steps in Euclidean time with results of test QMC calculations. We check different variants of conventional Hubbard-Stratonovich transformation based on Gaussian integrals. On the basis of our analysis we reveal a regime with minimal number of relevant thimbles in the vicinity of half filling. In this regime we found only two relevant thimbles for the few-site lattices studied in the paper. There is also indirect evidence of the existence of this regime in more realistic systems with large number of Euclidean time slices. In addition, we derive a new non-Gaussian representation of the interaction term, where the number of relevant Lefschetz is also reduced in comparison with conventional Gaussian Hubbard-Stratonovich transformation.

研究の動機と目的

• 半フォールドから離れた状況における、Hubbard モデルの決定論的 Quantum Monte Carlo シミュレーションにおける継続的な符号問題に対処すること。
• 経路積分形式において関連する Lefschetz のひげの数を削減することで、符号問題の深刻さに直接的な影響を与えること。
• 特に非ガウス型の代替 Hubbard-Stratonovich 表現を探索し、ひげの寄与を最小化し、アルゴリズム的サンプリングを改善すること。
• 作用における実数および複素数の補助場指数の最適混合によって、符号問題がどのように緩和されるかを特定すること。
• 連続的補助場シミュレーションにおけるフェルミオン行列式がゼロとなる場の配置が引き起こすエルゴード性および統計的課題を分析すること。

提案手法

• 小スケール格子（Ns=1,2,4）と Nt=1,2,3 個のユークリッド時間スライスを用い、半解析的鞍点解析とひげ分解を実施する。
• 実数指数のみを含むフェルミオン行列式を持つ2つのガウス型 Hubbard-Stratonovich 変換を比較する。
• BSS-QMC にインspiredされた新しい非ガウス型積分表現を導入し、ひげの数を削減する。
• 鞍点の事前知識なしに Lefschetz のひげを近似するために、ホロモーフィックフローおよび一般化されたひげアプローチを用いる。
• HMC シミュレーションを実施し、ひげの関連性を検証し、異なるパrameter 範囲における位相フラクチュエーションおよびエルゴード性を評価する。
• フェルミオン行列式がゼロとなる多様体の次元を分析し、サンプリングの困難さおよび統計誤差の挙動を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代替 Hubbard-Stratonovich 表現を用いた場合、Hubbard モデルで達成可能な関連する Lefschetz のひげの最小数は何か？
• RQ2 補助場作用における実数および複素数指数の混合が、寄与するひげの数および位相フラクチュエーションにどのように影響するか？
• RQ3 相互作用項の非ガウス型表現は、従来のガウス型 HS 変換と比較して、関連するひげの数を減少させることができるか？
• RQ4 フェルミオン行列式がゼロとなる場の配置は、HMC シミュレーションにおけるエルゴード性の破壊および誤差推定の歪みにどのような役割を果たすか？
• RQ5 半フォールド付近には、2つのひげが支配的となり、符号問題が緩和されるような領域があるか？

主な発見

• 半フォールド付近では、すべての少数サイト格子（Ns=1,2,4）において、関連する Lefschetz のひげの数がわずか2つにまで最小化され、符号問題軽減に有利な領域であることが示された。
• 実数および複素数指数の混合（α≈0.9）の領域では、ひげの数が最も少なく、位相フラクチュエーションも最小となり、純粋に実数または純粋に複素数の指数を用いた場合を上回る性能を示した。
• 相互作用項の非ガウス型表現は、関連するひげの数を有限に保ち、中程度の化学ポテンシャルでは常にゼロ補助場における真空鞍点が支配的である。
• 化学ポテンシャルがゼロのとき実数である鞍点は、μの増加に伴い複素平面に移動するが、虚数部の作用がゼロのまま維持され、それぞれのひげ上で位相が一定を保つ。
• フェルミオン行列式がゼロとなる場の配置は、混合領域では次元 N−2 の多様体を形成し、純粋に実数または複素数の極限（次元 N−1）と比較してエルゴード性の問題が軽減される。
• ゼロ行列式多様体の存在により、観測量の分布が重い尾を持つようになり、2階モーメントが定義されないため、統計的後処理に注意が必要となる。