[論文レビュー] Path integral solution for a Klein-Gordon particle in vector and scalar deformed radial Rosen-Morse-type potentials

A. Khodja, A Kadja+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2019

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、等しいベクトルおよびスカラー成分を有する変形された径方向ローゼン・モーゼー型ポテンシャルにおけるキーン＝ゴルドン粒子の経路積分解法を、$q$-変形ハイパボリック関数を用いて提示する。遠心項に対して近似を適用し、ディラック-δ摂動法を用いることで、閉形式の径方向グリーン関数を導出し、束縛状態のエネルギー準位および波動関数の超越方程式を、さまざまな $q$-パラメータ領域およびマニング＝ローゼンおよびエーカートポテンシャルなどの特別な場合に対して得た。

ABSTRACT

The problem of a Klein-Gordon particle moving in equal vector and scalar Rosen-Morse-type potentials is solved in the framework of Feynman's path integral approach. Explicit path integration leads to a closed form for the radial Green's function associated with different shapes of the potentials. For $q\leq -1$, and $\frac{1}{2α}\ln \left\vert q ight\vert 0$, it is shown that the quantization conditions for the bound state energy levels $E_{n_{r}}$ are transcendental equations which can be solved numerically. Three special cases such as the standard radial Manning-Rosen potential $(\left\vert q ight\vert =1)$, the standard radial Rosen-Morse potential $% (V_{2} ightarrow -V_{2},q=1)$ and the radial Eckart potential $% (V_{1} ightarrow -V_{1},q=1)$ are also briefly discussed.

研究の動機と目的

• 等しいベクトルおよびスカラー成分を有する $q$-変形径方向ローゼン・モーゼー型ポテンシャルにおけるスピンゼロ粒子の相対論的キーン＝ゴルドン方程式に対する完全な経路積分的取り扱いを提供すること。
• $q \leq -1$ の場合に、適切な遠心ポテンシャルの近似を用いて、任意の軌道量子数 $l$ に対する径方向グリーン関数を導出すること。
• $-1 < q < 0$ および $q > 0$ の場合に、問題をディラック-δ関数摂動を用いて反射境界条件を課す半直線ポテンシャルに変換し、$s$-波状態（$l=0$）に拡張すること。
• マニング＝ローゼン、ローゼン・モーゼー、エーカートポテンシャルなどの標準的ポテンシャルが、$q$-変形モデルの極限として回復され、解析されること。
• 超幾何関数を用いて、束縛状態エネルギー準位およびそれに対応する正規化済み波動関数の量子化条件を導出すること。

提案手法

• 等しいベクトルおよびスカラー成分を有する中心力場における粒子のフェインマンの経路積分形式を用いて、径方向グリーン関数を定式化する。
• $q$-変形ハイパボリック関数のパrametrizationを用いてポテンシャルを定義する：$V_q(r) = S_q(r) = -\frac{V_1}{\cosh_q^2(\alpha r)} - V_2 \tanh_q(\alpha r)$、$q \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$。
• $q \leq -1$ の場合、遠心項に対して近似を適用し、閉形式での径方向グリーン関数を計算することで、エネルギー準位および波動関数の導出を可能にする。
• $-1 < q < 0$ および $q > 0$ の場合、$x_0 = \frac{1}{\alpha} \ln |q|$ における反射境界を課すために、ディラック-δ関数摂動を導入し、経路積分を半直線問題に変換する。
• 摂動法を用いて半直線上での径方向グリーン関数を評価し、超幾何関数を含む超越的量子化条件を導出する。
• グリーン関数の極からエネルギー準位および径方向波動関数を導出し、ヤコビ多項式および超幾何関数を用いて表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対論的スピンゼロ粒子が $q$-変形ローゼン・モーゼー型ポテンシャルに置かれた場合、経路積分法がどのように体系的にキーン＝ゴルドン方程式を解くために適用可能となるか。
• RQ2 変形パrameter $q$ が $q \leq -1$、$-1 < q < 0$、$q > 0$ の値を取る場合、径方向グリーン関数および束縛状態スペクトルの挙動はどのように変化するか。
• RQ3 これらの $q$-領域間でエネルギー準位の量子化条件はどのように異なり、統一的または解析的に取り扱える形に表現可能か。
• RQ4 標準的マニング＝ローゼン、ローゼン・モーゼー、エーカートポテンシャルは、$q$-変形モデルの極限としてどの程度回復可能か。
• RQ5 特にディラック-δ摂動を用いて境界条件をモデル化することで、経路積分的手法を用いて波動関数およびエネルギー準位を閉形式で導出可能か。

主な発見

• $q \leq -1$ および $r > \frac{1}{\alpha} \ln |q|$ の場合、径方向グリーン関数が閉形式で導出され、主量子数 $n_r$ と軌道量子数 $l$ の二次式を含むエネルギー方程式が得られる。
• $q \leq -1$ のエネルギー準位は、方程式 $E_{n_r,l}^2 = (M + E_{n_r,l})^2 - \frac{\alpha^2}{3} l(l+1) + \left(\frac{1}{2} + \sqrt{\left(l + \frac{1}{2}\right)^2 - 2(M + E_{n_r,l}) \frac{V_1}{\alpha^2}}\right)^2 - \frac{\alpha^2}{3} l(l+1)$ によって決定され、数値的に解く必要がある。
• $-1 < q < 0$ および $q > 0$ の場合、$l=0$ に対する径方向グリーン関数はディラック-δ摂動法を用いて得られ、超幾何関数 ${}_2F_1$ を含む超越的量子化条件が導かれる。
• 正規化された径方向波動関数はヤコビ多項式を用いて表現される：$u_{n_r,l}^{\left|q\right|=1}(r) = \widetilde{N}_{n_r,l} (1 - e^{-2\alpha r})^{\widetilde{\delta}_l} (e^{-2\alpha r})^{w_l} P_{n_r}^{(2w_l, 2\widetilde{\delta}_l - 1)}(1 - 2e^{-2\alpha r})$、ここで正規化定数 $\widetilde{N}_{n_r,l}$ は明示的に与えられる。
• 標準的マニング＝ローゼンポテンシャル（$|q|=1$）は極限として回復され、エネルギー準位は超幾何関数の条件 ${}_2F_1(p + w - \delta + 1, p + w + \delta, 2p + 1; \frac{1}{2}) = 0$ によって決定される。
• $V_1 \to -V_1$ または $V_2 \to -V_2$ とすることで、径方向エーカートおよび標準的ローゼン・モーゼー・ポテンシャルも特殊ケースとして得られ、対応する量子化条件および波動関数は超幾何関数を用いて導出される。