[論文レビュー] Path integrals and boundary conditions

M. Asorey, Alberto Ibort+1 more|ArXiv.org|Sep 4, 2006

Numerical methods in engineering参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、フェ Feynman の経路積分形式化が、有界領域における単純な系でさえも、極めて非局所的な量子境界条件を記述できないことを示している。経路積分は、画像電荷や特異ポテンシャルを用いることで局所的および周期的境界条件をうまく記述できるが、非局所的またはトポロジカルな制約を含む一般の自己共役拡張を記述できない。その理由は、経路が単値的かつ点的な性質を持つためであり、境界から無限に多くの出射経路や多値的経路を表現できないからである。

ABSTRACT

The path integral approach to quantum mechanics provides a method of quantization of dynamical systems directly from the Lagrange formalism. In field theory the method presents some advantages over Hamiltonian quantization. The Lagrange formalism preserves relativistic covariance which makes the Feynman method very convenient to achieve the renormalization of field theories both in perturbative and non-perturbative approaches. However, when the systems are confined in bounded domains we shall show that the path integral approach does not describe the most general type of boundary conditions. Highly non-local boundary conditions cannot be described by Feynman's approach. We analyse in this note the origin of this problem in quantum mechanics and its implications for field theory.

研究の動機と目的

• 有界領域における一般の量子境界条件を記述する経路積分的手法の限界を調査すること。
• ハミルトニアン形式における数学的に有効な境界条件である非局所的またはトポロジカルな境界条件を経路積分がなぜ記述できないかを特定すること。
• 古典的経路に基づく経路積分と、ハミルトニアン作用素のすべての自己共役拡張との間の不一致を明確にすること。
• 量子重力や量子ホール効果を含む現代の量子理論における境界条件の物理的意義を強調すること。
• 非局所境界条件は、巨視的系においてはおそらく発現するが、標準的経路積分手法では記述できないため、非摂動的量子場理論におけるその適用範囲が制限されることを主張すること。

提案手法

• von Neumann の欠損部分空間理論を用いて、有界領域におけるラプラシアン作用素の自己共役拡張を分析する。
• 境界上の $ L^2(\bar{\nabla}\nabla\text{ 空間}) $ に作用するユニタリ作用素を用いて、すべての自己共役拡張を特徴づけ、境界条件を $ \varphi - i\dot{\varphi} = U(\varphi + i\dot{\varphi}) $ としてパラメータライズする。
• 経路積分形式化とハミルトニアンアプローチを比較し、ディリクレ、ノイマン、周期的境界条件など、一部の境界条件にしか標準的経路積分技法で記述できないことを示す。
• 画像法や特異ポテンシャル（例：デルタ関数）を用いて、いくつかの非自明な場合に経路積分記述を拡張するが、非局所的またはトポロジカルな条件には失敗することを示す。
• 2つの円形境界を持つコルビーノディスクモデルを分析し、境界条件 $ \varphi_\pm = \pm \Delta_{\partial\Omega} \dot{\varphi}_\pm $ がエッジ状態と負のエネルギー準位を生じるが、これに対して経路積分的記述が存在しないことを示す。
• 経路積分の経路は、波束が無限に多くの出射経路に分裂する、あるいは散乱で方向を逆にするような状況を表現できず、単値的経路仮定に違反することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェインマンの経路積分形式化は、有界領域におけるハミルトニアンのすべての自己共役拡張を記述できるか？
• RQ2 なぜ経路積分は、エッジ状態を伴うコルビーノディスクのような非局所的またはトポロジカルな境界条件を記述できないのか？
• RQ3 経路積分の経路と特定の量子境界条件との間の不適合性の根本的理由は何か？
• RQ4 巨視的系において、有効な非局所境界条件がどの程度発現する可能性があり、それらは依然として経路積分で記述可能か？
• RQ5 境界の存在が、古典的期待を超えて真の量子効果を強化する仕組みは何か。そして、これにより量子化手法にどのような意味があるか？

主な発見

• 経路積分的手法は、非局所的またはトポロジカルな境界条件を含むハミルトニアンのすべての自己共役拡張を記述できない。
• 境界上のユニタリ作用素 $ U $ を用いて表される境界条件 $ \varphi - i\dot{\varphi} = U(\varphi + i\dot{\varphi}) $ は、経路が単値的であるため、標準的経路積分では記述できない。
• コルビーノディスクモデルでは、境界条件 $ \varphi_\pm = \pm \Delta_{\partial\Omega} \dot{\varphi}_\pm $ がエッジ状態と負のエネルギー準位を生じるが、これに対して経路積分的表現は存在しない。
• 画像電荷や特異ポテンシャルを用いても、1つの入射経路が無限に多くの出射経路に分裂するような系では、経路積分が記述できない。これは波束の逆散乱に現れる。
• その失敗の根本的要因は、古典的経路が、量子力学的起源の多値的または非局所的散乱過程を表現できないことにある。
• 非局所境界条件は、非常に相関の強い物質によって巨視的系で発現しうるが、そのような条件は依然として経路積分形式主義の範囲外にあり、非摂動的量子場理論におけるその普遍性を制限する。