[論文レビュー] Path integrals for a class of p-adic Schr"odinger equations

V. S. Varadarajan|ArXiv.org|Feb 21, 1997

advanced mathematical theories参考文献 4被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、非アーベル体上の有限次元ベクトル空間におけるp進シュレーディンガー方程式の虚時間伝播子の経路積分形式を展開する。スコロホド空間における右連続で左極限をもつ関数（càdlàg関数）の測度を用いて、伝播子 $ e^{-tH} $ に対するフェインマン・アッカ型の公式を導出する。これは、非連続的経路と非アーベル的ノルムを伴うp進設定への実変数経路積分の一般化である。

ABSTRACT

The theme of doing quantum mechanics on all abelian groups goes back to Schwinger and Weyl. If the group is a vector space of finite dimension over a non-archimedean locally compact division ring, it is of interest to examine the structure of dynamical systems defined by Hamiltonians analogous to those encountered over the field of real numbers. In this letter a path integral formula for the imaginary time propagators of these Hamiltonians is derived.

研究の動機と目的

• 実ベクトル空間からの量子力学的経路積分形式をp進および非アーベル体に拡張すること。
• 非アーベル的量子力学における連続的経路測度の欠如に応じ、スコロホド空間への測度の導入を通じて解決すること。
• この非アーベル的設定における虚時間伝播子 $ e^{-tH} $ に対するフェインマン・アッカ型の公式を導出すること。
• p進拡散過程の経路空間における確率測度の存在および連続性を確立すること。
• p進量子系におけるポテンシャル項を含むハミルトニアンに対する厳密な経路積分表現を提供すること。

提案手法

• 非アーベル的局所体 $ K $ に有限次元で、非アーベル的 $ D $-ノルムを備えた除法代数 $ D $ 上のベクトル空間 $ W $ を用いる。
• 経路空間を $ D([0,t]:W) $ と定義する。これは $[0,t]$ から $ W $ へのcàdlàg関数の空間であり、右連続性と左極限の存在を満たす。
• 初期点 $ x $ と終点 $ y $ を条件とする過程のための確率測度 $ \mathbf{P}^{t}_{x,y} $ を、条件付き期待値とチェントソフの基準を用いて構成する。
• 非自明な加法的特徴 $ \chi $ に関して $ W $ 上のフーリエ変換を適用し、$ \chi $ の導出 $ \delta $ を用いてハール測度と特性関数を定義する。
• 核 $ K_{t,b}(x,y) $ を経路空間上の積分として導出する：$ K_{t,b}(x,y) = \int_{\mathcal{D}_t} \exp\left(-\int_0^t V(\omega(s))ds\right) d\mathbf{P}^{t}_{x,y}(\omega) \cdot f_{t,b}(x-y) $。ここで $ f_{t,b} $ は密度関数である。
• 1次元の場合に、$ r \leq -m + \delta $ における和を用いて、$ f_{t,b}(\pi^{-m}) $ を明示的に計算し、指数的減衰項 $ e^{-tq^{rb}} - e^{-tq^{(r+1)b}} $ を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p進シュレーディンガー作用素に対して、実数の場合と類似したハミルトニアンを有する経路積分形式を構築可能か？
• RQ2 非アーベル的空間における連続的経路の不在を考慮すると、p進設定における経路空間はどのように定義すべきか？
• RQ3 非アーベル的量子力学における虚時間伝播子 $ e^{-tH} $ を得るための適切な測度空間と確率過程は何か？
• RQ4 非アーベル的体における非アーベル的ノルムと不連続的経路を伴うフェインマン・アッカ公式は、どのように適応されるか？
• RQ5 経路積分と関数 $ f_{t,b} $ を用いて、伝播子核 $ K_{t,b}(x,y) $ の明示的形は何か？

主な発見

• スコロホド空間 $ D([0,T]:W) $ 上に、$ x $ と $ y $ に関して連続な一意的な確率測度族 $ \mathbf{P}^{T,b}_{x,y} $ が存在し、これは $ x $ で出発し $ y $ で終了するcàdlàg過程の分布を表す。
• 伝播子 $ e^{-tH_{W,b}} $ は経路空間上の積分として表現される：$ K_{t,b}(x,y) = \int_{\mathcal{D}_t} \exp\left(-\int_0^t V(\omega(s))ds\right) d\mathbf{P}^{t}_{x,y}(\omega) \cdot f_{t,b}(x-y) $。ここで $ f_{t,b}(x) $ は $ |x| $ のみに依存する。
• 1次元の場合、$ f_{t,b}(\pi^{-m}) = q^{-\delta/2} \sum_{r \leq -m + \delta} q^r \left( e^{-tq^{rb}} - e^{-tq^{(r+1)b}} \right) $ であり、密度関数の明示的公式が得られる。
• 核 $ K_{t,b}(x,y) $ は $ x $ および $ y $ に関して連続であり、測度 $ \mathbf{P}^{t}_{x,y} $ は条件付き期待値とチェントソフの基準を用いて構成される。
• クーロン問題において、ハミルトニアン $ H = \Delta_{D,b} - eM_{1/|x|} $ は、$ K $ 上の4次元除法代数 $ D $ のトレースゼロ部分空間上で定義され、$ \text{char}(K) \neq 2 $ のとき $ D $ はクaternion代数である。
• この構成は、クaternion代数の2次元忠実表現を通じて実の場合の一般化を達成し、$ D $ の行列式1の元からなる群 $ U $ における対称性を保つ。