[論文レビュー] Path integrals from classical momentum paths

John Hegseth|ArXiv.org|Feb 29, 2004

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、固定された初期および最終運動量に基づいて導出された古典的作用 R を用いて、座標空間における標準的作用 S に類似した運動量空間における新しい経路積分形式を提案する。この形式により、シュレーディンガー方程式に依存せずに自由粒子、スピン系、調和振動子に対してより単純な計算が可能になることが示された。

ABSTRACT

The path integral formulation of quantum mechanics constructs the propagator by evaluating the action S for all classical paths in coordinate space. A corresponding momentum path integral may also be defined through Fourier transforms in the endpoints. Although these momentum path integrals are especially simple for several special cases, no one has, to my knowledge, ever formally constructed them from all classical paths in momentum space. I show that this is possible because there exists another classical mechanics based on an alternate classical action R. Hamilton's Canonical equations result from a variational principle in both S and R. S uses fixed beginning and ending spatial points while R uses fixed beginning and ending momentum points. This alternative action's classical mechanics also includes a Hamilton-Jacobi equation. I also present some important points concerning the beginning and ending conditions on the action necessary to apply a Canonical transformation. These properties explain the failure of the Canonical transformation in the phase space path integral. It follows that a path integral may be constructed from classical position paths using S in the coordinate representation or from classical momentum paths using R in the momentum representation. Several example calculations are presented that illustrate the simplifications and practical advantages made possible by this broader view of the path integral. In particular, the normalized amplitude for a free particle is found without using the Schrodinger equation, the internal spin degree of freedom is simply and naturally derived, and the simple harmonic oscillator is calculated.

研究の動機と目的

• 標準的な位置空間における経路積分と補完的となる、古典的運動量経路に基づく形式的経路積分形式を確立すること。
• 長年の課題である、すべての古典的運動量経路から運動量経路積分を形式的に構築する問題を解決すること。
• 正準変換における境界条件の役割を明確にし、それらが位相空間における経路積分でなぜ失敗するのかを説明すること。
• 運動量経路積分形式が、より単純に量子力学的問題を解く上で実用的な利点を示すこと。
• 新しい作用 R からもハミルトニアン・ジャコビ方程式および正準方程式が、S から導かれるのと同様に導かれるということを示すこと。

提案手法

• 固定された初期および最終運動量値に依存する、標準的作用 S に類似した代替古典的作用 R を定義する。
• R に変分原理を適用し、運動量空間におけるハミルトンの正準方程式および対応するハミルトニアン・ジャコビ方程式を導出する。
• 座標表現と運動量表現の間のフーリエ変換を用いて、標準的経路積分（S に基づく）と新しい運動量経路積分（R に基づく）を関連付ける。
• R を経路積分の指数関数の肩に置き、固定された初期および最終運動量を持つすべての古典的運動量経路にわたって積分することで、伝播関数を構築する。
• 自由粒子、スピン系、調和振動子といった特定の系に運動量経路積分を適用し、標準的量子力学の結果と比較する。
• 正準変換が位相空間経路積分でなぜ失敗するのかを、作用 R の境界条件と正準力学の要件との不整合性に結びつけて分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分原理を用いて、古典的運動量経路から一貫性のある経路積分形式を構築できるか？
• RQ2 作用 R は固定された初期および最終運動量を持つ古典的力学を定義する上で果たす役割は何か？また、標準的作用 S とはどのように関係するか？
• RQ3 なぜ正準変換は位相空間経路積分で失敗するのか？境界条件はその原因にどのように関与するか？
• RQ4 シュレーディンガー方程式を用いずに、運動量経路積分形式が正しい量子力学的結果を導けるか？
• RQ5 自由粒子や調和振動子といった特定の量子系に対して、運動量経路積分を用いることで実用的な利点が得られるか？

主な発見

• 固定された初期および最終運動量値を用いて、新しい古典的作用 R を定義でき、運動量空間における一貫性のある変分原理および正準方程式が得られる。
• R から構築された運動量経路積分は、シュレーディンガー方程式を用いずに自由粒子の正しい伝播関数を再現する。
• 内部スピン自由度が、運動量経路積分の枠組み内で自然かつ単純に導出される。
• 調和振動子の伝播関数が運動量経路積分を用いて計算され、その実用的有用性が示された。
• 正準変換が位相空間経路積分で失敗する理由は、作用 R の境界条件が正準力学の要件と整合しないことに起因する。
• 運動量表現における経路積分は、標準的な座標空間形式とは補完的であり、より広範かつ対称的な量子力学の視点を提供する。