[論文レビュー] Path integrals in curved space and the worldline formalism

Fiorenzo Bastianelli|ArXiv.org|Aug 26, 2005

Mathematics and Applications参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、ワールドライン形式を用いて、曲がった時空における粒子の厳密な経路積分形式を構築し、重力に結合するp形式ゲージ場のSeeley–DeWitt係数を効率的に計算することを可能にする。p形式とその双対形式の間の正確な双対性関係を導出し、偶数次元におけるオイラー特性に関連するトポロジカルな不一致を特定し、ワールドライン経路積分のU(1)モジュライ空間における輪郭変形によって解決する。

ABSTRACT

We describe how to construct and compute unambiguously path integrals for particles moving in a curved space, and how these path integrals can be used to calculate Feynman graphs and effective actions for various quantum field theories with external gravity in the framework of the worldline formalism. In particular, we review a recent application of this worldline approach and discuss vector and antisymmetric tensor fields coupled to gravity. This requires the construction of a path integral for the N=2 spinning particle, which is used to compute the first three Seeley-DeWitt coefficients for all p-form gauge fields in all dimensions and to derive exact duality relations.

研究の動機と目的

• 長年の論争を解消するため、曲がった時空における粒子の整合的かつ明確な経路積分形式を確立すること。
• この形式を用いて、外部重力場に結合する量子場理論の1ループ有効作用を計算すること。
• N=2スピン粒子経路積分を用いて、任意次元における任意のp形式ゲージ場の最初の3つのSeeley–DeWitt係数を、すべての次元で導出すること。
• 曲がった時空におけるp形式とその双対 (D−p−2)-形式間の量子的等価性と双対性を調査すること。
• 双対性におけるトポロジカルな不一致の起源を、ワールドライン経路積分のU(1)モジュライ空間における特異点を分析することで明確化すること。

提案手法

• 再パラメトライゼーション不変作用と einbein フィールドを用いて、曲がった空間におけるスカラー粒子のワールドライン経路積分を形式化する。
• 対数関数の固有時間表現を用いて、周期的境界条件を満たすワールドライン経路のトレースとして1ループ有効作用を表現する。
• スピン自由度をワールドラインフェルミオンにエンコードするため、ベクトル場および反対称テンソル場を記述するためにN=2スピン粒子モデルを適用する。
• ワールドライン経路積分のU(1)モジュライ空間を分析するために、変数w（ウィルソンループ）を導入し、w = −1における特異点を扱うために輪郭変形を可能にする。
• フェルミオン数演算子 ŜN を用いた演算子的手法により、相関関数を計算し、経路積分からSeeley–DeWitt係数を抽出する。
• 変形された経路を用いた輪郭積分を用いて、w = −1における留数を分離し、p形式とその双対との間のトポロジカルな不一致を捉える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲がった時空における粒子の経路積分をどのように一貫して定義・計算すれば、明確な量子有効作用が得られるのか？
• RQ2 N=2スピン粒子は、ワールドライン形式を用いて、曲がった時空におけるp形式ゲージ場をどのように記述するのか？
• RQ3 任意次元におけるp形式のSeeley–DeWitt係数は、どのようにワールドライン経路積分から導かれるのか？
• RQ4 曲がった背景におけるp形式とその双対 (D−p−2)-形式の間の双対性不一致の起源は何か？
• RQ5 U(1)モジュライ空間におけるw = −1における特異点は、有効作用にどのように影響を与え、物理的解釈は何か？

主な発見

• ワールドライン形式は、任意次元におけるすべてのp形式ゲージ場の最初の3つのSeeley–DeWitt係数 a₀, a₁, a₂ を体系的かつ効率的に計算する手法を提供する。
• p ≥ 3 に対する係数は新たに導出され、p = 0,1,2 に対する既知の結果を拡張するものであり、直接的なインデックス縮約ではなく、ワールドラインフェルミオン相関関数を用いて得られる。
• p形式とその双対 (D−p−2)-形式の間の双対性におけるトポロジカルな不一致は、U(1)モジュライ空間におけるw = −1における留数に起因し、偶数次元では非ゼロとなる。
• 偶数次元では、この不一致はオイラー特性密度に比例する局所項に対応し、a₂係数に影響を与える。
• 奇数次元では、この不一致はトポロジカルであり、レイ・シン・ torsion に一致する。これは経路積分解析によって確認された。
• 輪郭変形の手続きにより、特異な寄与を明確に分離でき、有効作用の正確な計算が可能となり、表面的な双対性違反が解消される。