[論文レビュー] Path regularity of coupled McKean-Vlasov FBSDEs

Christoph Reisinger, Wolfgang Stockinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Lipschitz条件のもとで、Lipschitz分解場の仮定を用いて、結合型 McKean-Vlasov 前向き後向き確率微分方程式（MV-FBSDE）の解について、時間に関して 1/2-ホルダー連続性を確立する。この結果は、粒子系および時間分割スキームの数値近似と収束解析に不可欠な経路の正則性を保証する。

ABSTRACT

This paper establishes Hölder time regularity of solutions to coupled McKean-Vlasov forward-backward stochastic differential equations (MV-FBSDEs). This is not only of fundamental mathematical interest, but also essential for their numerical approximations. We show that a solution triple to a MV-FBSDE with Lipschitz coefficients is 1/2-Hölder continuous in time in the $L^p$-norm provided that it admits a Lipschitz decoupling field. Special examples include decoupled MV-FBSDEs, coupled MV-FBSDEs with a small time horizon and coupled stochastic Pontryagin systems arsing from mean field control problems.

研究の動機と目的

• 一般のLipschitz係数を有する完全結合型 McKean-Vlasov FBSDE の解の経路正則性を確立すること。
• 従来のFBSDEとは異なり、拡散項が退化し、強い結合性を有するMV-FBSDEに対して、正則性に関する結果が不足している問題を扱うこと。
• 粒子近似および時間離散化スキームを含む数値解析の基盤を提供すること。
• 時間区間が短い、一般化された単調性などの実用的条件のもとで正則性が保証されるかを検証すること。

提案手法

• 存在性と安定性を示すために、パrameter λ ∈ [0,1] を用いた方程式族 (A.1) を用いた継続法を用いる。
• 適切なバナッハ空間における適応過程のクラス上で、バナッハの不動点定理を適用して収縮性を示す。
• 解の三重組 (X, Y, Z) の時間正則性を制御するために、分解場の仮定を用いる。
• 事前推定とグロンウォール型の議論を用いて、モーメントバウンドおよび経路正則性推定を導出する。
• 標準的な微分表現が欠如する平均場設定に適応した、マルヤビン計算および一次変動過程に依存する。
• 分解場条件のもとで、主要な正則性推定式 (1.2) および (1.3) を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合型MV-FBSDEの解が、どのような条件下で時間に関して 1/2-ホルダー連続な経路を示すか？
• RQ2 平均場依存性のため標準的なマルヤビン微分表現が失敗する場合、MV-FBSDEの経路正則性はどのように確立できるか？
• RQ3 MV-FBSDEに対して、Lipschitz分解場が存在するための条件は何か？
• RQ4 拡散項が退化し、一般のLipschitz係数を有する結合系に対しても、経路正則性を拡張できるか？
• RQ5 時間区間の長さは、MV-FBSDEの正則性および可解性にどのように影響するか？

主な発見

• Lipschitz係数を有するMV-FBSDEの解は、Lipschitz分解場が存在する限り、L^pノルムにおいて時間に関して 1/2-ホルダー連続である。
• 正則性推定式 (1.2) および (1.3) は、p および初期条件 ξ₀ のみに依存する定数を用いて成立する。
• 分解場条件は、非結合型MV-FBSDE、短い時間区間、一般化された単調性を有する系において満たされる。
• 解の三重組 (X, Y, Z) は、時間に一様にモーメントバウンドを満たし、安定性および可積分性を保証する。
• パrameter λ ∈ [0,1] を用いた継続法により、分解仮定のもとで一意的な可解性および確率的安定性が証明される。
• 本結果は、平均場制御およびゲーム問題における粒子近似および時間ステップスキームの収束解析を支援する。