[論文レビュー] Path-wise solutions of SDE's driven by Levy processes

David R.E. Williams|ArXiv.org|Jan 4, 2000

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$p < 2$ または $p > 2$ に対して、$p$-variation が有限である Lévy プロセスによって駆動される確率微分方程式 (SDE) に対して、経路ごとの解の存在および一意性を示している。$p < 2$ の場合、Young の積分を用い、$p > 2$ の場合、Lyons の粗いパス理論を用いている。主な貢献は、架空の時間および面積過程を用いて幾何的解および前方解を構築し、変動が無限大で不連続な駆動過程に対しても適切に定義された解が得られることを保証している。

ABSTRACT

In this paper we show that a path-wise solution to the following integral equation $$ Y_t = \int_0^t f(Y_t) dX_t \qquad Y_0=a \in \R^d $$ exists under the assumption that X_t is a Lévy process of finite p-variation for some $p \geq1$ and that f is an $α$-Lipschitz function for some alpha&gt;p. There are two types of solution, determined by the solution's behaviour at jump times of the process X, one we call geometric the other forward. The geometric solution is obtained by adding fictitious time and solving an associated integral equation. The forward solution is derived from the geometric solution by correcting the solution's jump behaviour. Lévy processes, generally, have unbounded variation. So we must use a pathwise integral different from the Lebesgue-Stieltjes integral. When X has finite p-variation almost surely for p&lt;2 we use Young's integral. This is defined whenever f and g have finite p and q-variation for 1/p+1/q&gt;1 (and they have no common discontinuities). When p&gt;2 we use the integral of Lyons. In order to use this integral we construct the Lévy area of the Lévy process and show that it has finite (p/2)-variation almost surely.

研究の動機と目的

• 半マルティンググであるとは限らない Lévy プロセスによって駆動される SDE に対して、経路的解法が不足している問題に対処すること。特に、変動が無限大である場合に焦点を当てる。
• 連続的でない Lévy プロセスを扱うことで、連続過程に限らない経路的統合フレームワークを拡張すること。$p < 2$ または $p > 2$ に対して $p$-variation が有限である場合を対象とする。
• 解のパスにおけるジャンプ不連続性の取り扱い方によって、幾何的解と前方解という2つの異なる解のタイプを定義すること。
• ドリフト係数 $f$ が $\alpha$-Lipschitz で $\alpha > p$ であるという条件下で、積分が適切に定義される十分な正則性を満たすように、解の存在および一意性を確立すること。
• $p > 2$ の場合に、粗いパス理論を用いた厳密なフレームワークを構築すること。特に、$(p/2)$-variation がほとんど確実に有限である Lévy 面積過程の構築を含む。

提案手法

• $p < 2$ の場合、$f$ と $X_t$ がそれぞれ有限の $p$-variation および $q$-variation を持ち、$1/p + 1/q > 1$ を満たすとき、Young 積分を用いて経路的積分を定義する。半マルティンググ理論を必要としない。
• $p > 2$ の場合、粗いパス理論を適用し、積分が Lyons の意味で適切に定義されるように、Lévy プロセスに Lévy 面積を拡張する必要がある。
• 幾何的解は、ジャンプ時に架空の時間を挿入することでパスを連続化し、拡張された時間区間上で SDE を解き、その後架空の時間成分を除去することで構築する。
• 前方解は、幾何的解から出発し、ジャンプ挙動を標準的なジャンプ規則 $y_t - y_{t-} = f(y_{t-})(x_t - x_{t-})$ に修正することで得られ、古典的積分解釈と整合性を持つ。
• 制御された粗いパスに基づく反復スキームを用い、反復列 $V^{(m)}$ が帰納法により一様に制御可能であることを示し、解への収束を保証する。
• 証明は、制御関数 $\omega$ を用いた制御された粗いパスの構築に依存し、$\beta(k/p)!$ を含む境界を用いて反復積分の成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p < 2$ に対して、$p$-variation が有限である不連続な Lévy プロセスによって駆動される SDE に対して、経路的解を構築できるか？
• RQ2 $p > 2$ の場合、正則性が不足するため Young 積分が失敗するが、どのように経路的積分を定義できるか？
• RQ3 Lévy 面積は、Lévy プロセスによって駆動される SDE に対して粗いパス理論を可能にする役割を果たすか？
• RQ4 幾何的解と前方解は、ジャンプ不連続性の取り扱い方においてどのように異なり、それぞれの存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ5 ドリフト係数 $f$ および駆動過程 $X_t$ に対して、どのような条件下で一意な経路的解が存在するか？

主な発見

• $p < 2$ の場合、$f$ が $\alpha$-Lipschitz で $\alpha > p$ であるという仮定の下で、SDE $Y_t = a + \int_0^t f(Y_s)\,dX_s$ に対して一意な幾何的解が存在する。
• $p > 2$ の場合、Lévy プロセスの Lévy 面積は、ほとんど確実に $(p/2)$-variation を持つため、粗いパス理論を用いて積分を定義可能である。
• 幾何的解は、パスを連続化するために架空の時間を追加し、拡張されたパス上で SDE を解き、その後架空の時間成分を除去することで構築される。
• 前方解は、幾何的解から出発し、ジャンプ挙動を規則 $y_t - y_{t-} = f(y_{t-})(x_t - x_{t-})$ に修正することで得られ、標準的積分解釈と整合性を持つ。
• 反復スキームの収束は、制御関数 $\omega$ を用いた $V^{(m)}$ の一様制御により保証され、$\beta(k/p)!$ を含む境界が反復積分の成長を制御する。
• 駆動パスが連続である場合、解はホメオモーフィズム的フロー性質を満たし、これにより幾何的解と前方解を関連付けるのに用いられる。