[論文レビュー] Pathologies of the Brauer-Manin obstruction

Jean-Louis Colliot-Thélène, Ambrus Pál+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、代数的多様体上の有理点におけるハッセの原理および弱近似の明示的反例を構成し、特に対象となる多様体の滑らかなファイバーがハッセの原理を満たしている場合でも、ブラウアー＝マニン障害が有理点の不在を検出できないことがあることを示している。有理点をただ一つもつ底多様体と、アーベル群の技術を用いたアーベル点の詳細な分析を通じて、ブラウジャー＝マニン集合が空でない一方で有理点集合が空である例を提示している。特に、有理点集合が自明な曲線上のコンニク・バンドルおよび二次曲面バンドルにおいて顕著である。

ABSTRACT

We construct a conic bundle over an elliptic curve over a real quadratic field that is a counterexample to the Hasse principle not explained by the \'etale Brauer-Manin obstruction. We also give simple examples of threefolds with the same property that are families of 2-dimensional quadrics, and discuss some other examples and general properties of the Brauer-Manin obstruction.

研究の動機と目的

• 数体上の有理点を持たないがブラウジャー＝マニン集合が空でない多様体を構成すること。
• 特定のコンニク・バンドルおよび二次曲面バンドルにおいて、ブラウジャー＝マニン障害がハッセの原理の失敗を説明できないことの証明。
• このようなバンドルにおける滑らかなファイバーがハッセの原理および弱近似を満たす一方で、全体の多様体に有理点がないことの示唆。
• 底多様体に自明な有理点集合を持つ幾何学的に有理多様体の文脈において、ブラウジャー＝マニン障害の限界の探求。

提案手法

• 数体 k 上に、ちょうど一つの k-有理点を持つ底多様体 B を用意し、B(k) が B(Ak)Br に稠密でないことを保証する。
• 唯一の k-点上のファイバーに局所的有理点は存在するが、グローバル有理点は存在しないような、全射な準同型 f: X → B を構成する。
• 写像 Br(B) → Br(X) の全射性を活用し、X(Ak)Br にアーベル点が存在することを保証する。
• アーベル点のブラウジャー＝マニン類を保ちつつ、アーキメデス的および非アーキメデス的場所での変形技術を用いる。
• ねじれ点におけるガロア作用の像が大きい楕円曲線の性質を活用し、ファイバーの算術を制御する。
• ブラウジャー群の純粋性定理とシャピロの補題を用いて、剰余条件を分析し、ブラウジャー群の写像が全射であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理点集合が自明な曲線上のコンニク・バンドルまたは二次曲面バンドルにおいて、ブラウジャー＝マニン障害が有理点の不在を検出できないことはあり得るか？
• RQ2 滑らかなファイバーがハッセの原理および弱近似を満たすが、全体の多様体に有理点を持たないような三様体や曲面の例はあるか？
• RQ3 滑らかなファイバーがハッセの原理を満たしている場合でも、エタールブラウジャー＝マニン集合が空でない一方で有理点集合が空である例は存在するか？
• RQ4 高種数または幾何学的に有理なファイバー族において、ブラウジャー＝マニン障害がハッセの原理の反例を説明できないことはあり得るか？

主な発見

• 任意の数体 k 上の三様体を、ちょうど一つの k-点を持つ曲線 C によってパラメトライズされる2次元二次曲面の族として構成し、X(k) = ∅ だが X(Ak)´et,Br ≠ ∅ となることを示した。
• 実二次体 k 上の楕円曲線 E に対して、E(k) = {0} であるコンニクバンドル曲面 X → E に対して、X(k) = ∅ だが X(Ak)´et,Br ≠ ∅ となる例を構成した。
• 曲線の種数が1以上であるコンニク・バンドルまたは二次曲面バンドルにおいて、滑らかなファイバーがハッセの原理および弱近似を満たしている場合でも、ブラウジャー＝マニン障害がハッセの原理の失敗を説明できないことを示した。
• 有理点をちょうど一つもつ曲線上に、幾何学的に有理な曲面によってファイブレーションされる三様体において、ファイバーは特異的であり、X(k) = ∅ だが X(Ak)´et,Br ≠ ∅ であることを示した。
• シャファレヴィッチ＝タイト群が有限である楕円曲線 E 上のセベリ＝ブラウアー準同型 f: X → E に対して、X(Ak)Br ≠ ∅ ならば X(k) ≠ ∅ であることを証明した。これは、この状況では障害が十分であることを示している。
• ブラウジャー＝マニン集合が空でない場合でも、アーベル位相における位相的障害のため、X(k) の X(Ak)Br への稠密性が失敗しうることを示した。