[論文レビュー] Pathwise asymptotics for Volterra type rough volatility models

M. Cellupica, Barbara Pacchiarotti|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、連続的なボルテラ過程の関数として表されるボラティリティを有するボルテラ型の粗いボラティリティモデルに対して、経路ごとの大偏差原理を確立する。スケーリングされたロジプライスの経路を分析することで、漸近的尾部確率を導出し、粗い確率的ボラティリティモデルにおける極端な価格変動を非予測的枠組みで研究するためのものである。

ABSTRACT

We study stochastic volatility models in which the volatility process is a positive continuous function of a continuous Volterra stochastic process. We state some pathwise large deviation principles for the scaled log-price.

研究の動機と目的

• ボルテラ過程によって駆動される粗いボラティリティモデルの経路的の大偏差枠組みを構築すること。
• 連続的かつ正のボラティリティ関数を有する確率的ボラティリティモデルにおけるスケーリングされたロジプライス過程の漸近的挙動を分析すること。
• 非予測的で経路的な大偏差原理を確立し、粗いボラティリティダイナミクスに適したものとすること。
• 粗い確率的ボラティリティモデルにおけるレアイベントおよびテールリスクを研究する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 分析は経路的設定において行われ、スケーリングされたロジプライス過程の標本経路に焦点を当てる。
• 連続半マルティンゲールの弱収束理論および関数極限定理を用いて、大偏差原理を導出する。
• ボラティリティ過程は、連続的なボルテラ過程の正の連続関数としてモデル化され、経路的正則性を保証する。
• この手法は、縮約原理およびドンスカー＝ヴァラドハンの変分公式を用いて、経路的漸近的性質を扱う。
• 因果性を保つために、予測的でない確率積分を回避する。
• 主な技術的道具は、ボルテラ過程およびそのスケーリング極限としてのロジプライスの関数的表現である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スケーリングされたロジプライスの経路は、粗いボラティリティモデルにおいて大偏差の下でどのように振る舞うか？
• RQ2 ボルテラ型確率的ボラティリティモデルにおけるロジプライスの漸近的尾部挙動を支配する経路的大偏差原理は何か？
• RQ3 連続的なボルテラ駆動ボラティリティ過程に対して、非予測的で経路的な大偏差結果を確立できるか？
• RQ4 ボルテラ過程は、スケーリング下でのロジプライスの尾部確率をどのように規定するか？
• RQ5 ボルテラ過程の関数としてのボラティリティの関数的形態は、大偏差レート関数にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、ボルテラ型の粗いボラティリティモデルにおけるスケーリングされたロジプライス過程の経路的大偏差原理を確立する。
• 大偏差原理のレート関数は、変分表現における制御過程のエネルギーを用いて特徴付けられる。
• 予測的確率積分を用いることなく、漸近的尾部確率が導出可能である。
• ボルテラカーネルおよびボラティリティ関数に対するやや弱い正則性条件の下で、大偏差原理が成り立つ。
• 特定のケース、例えば分数 Browm 動作駆動ボラティリティにおいて、レート関数の明示的計算が可能である。
• 結果は、粗いボラティリティモデリングにおける古典的大偏差アプローチの経路的代替を提供する。