[論文レビュー] Pathwise Holder convergence of the implicit Euler scheme for semi-linear SPDEs with multiplicative noise

Sonja Cox, J. M. A. M. van Neerven|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、UMD Banach空間における乗法的ノイズを伴う半線形確率的偏微分方程式（SPDE）に、暗黙のEulerスキームを適用した際の、最適な経路的 Hölder 収束速度を確立する。モーメント収束の証明と、コルモゴロフおよびボレル＝カンテリの補題を用いた議論により、ドリフトおよび拡散係数にリプシッツ連続性と正則性条件が成り立つ場合、最適なレートで概収束する Hölder 収束が得られる。局所リプシッツの場合への拡張は、局所化による手法を用いて達成される。

ABSTRACT

In this article we prove pathwise Holder convergence with optimal rates of the implicit Euler scheme for semi-linear parabolic stochastic differential equations with multiplicative noise, set in a UMD Banach space X. We assume the non-linearities to satisfy appropriate (local) Lipschitz conditions. The convergence results are obtained by first proving corresponding results for the splitting scheme. The results are applied to a class of second order parabolic SPDEs driven by multiplicative space-time white noise.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズを伴う半線形SPDEを解く数値スキームに対して、最適なレートで経路的 Hölder 収束を確立すること。
• 局所リプシッツ係数への拡張を、局所化による議論によって実現すること。
• 重み付き Hölder 範囲におけるモーメント収束を証明し、確率的道具を用いて概収束する経路的 Hölder 収束を導出すること。
• 抽象的結果を、空間時間白色ノイズによって駆動される2階放物型SPDEに適用すること。
• Pisierの性質(\alpha)を有するUMD Banach空間、特にL^p空間およびヒルベルト空間を含む、収束解析を一般化すること。

提案手法

• 解析的C0-半群の生成作用素Aを含むリゾルベント表現による定義された暗黙のEulerスキームの使用。
• 中間ステップとしての分割スキームの適用、Trotter-Katoの公式を用いてリゾルベントと半群を結ぶこと。
• 事前推定と確率積分理論を用いた、離散 Hölder 範囲におけるモーメント収束の証明。
• コルモゴロフの基準およびボレル＝カンテリの補題を用いて、モーメント収束を概収束する経路的 Hölder 収束に昇格すること。
• γ-確率的有界線形作用素とUMD空間における確率積分を用いて、ノイズ項を制御すること。
• 局所リプシッツ係数FおよびGに対する結果を、局所化による議論によりグローバルな場合から拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ノイズを伴う半線形SPDEの文脈において、暗黙のEulerスキームの最適な経路的 Hölder 収束速度は何か？
• RQ2 離散 Hölder 範囲におけるモーメント収束は、どのようにして概収束する経路的 Hölder 収束を導くことができるか？
• RQ3 UMD Banach空間における収束を保証するための係数FおよびGの正則性および可積分性条件は何か？
• RQ4 収束結果をグローバルリプシッツから局所リプシッツ係数へ拡張することは可能か？
• RQ5 Pisierの性質(\alpha)およびUMD空間のタイプは、収束速度を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 適切なFおよびGの正則性および可積分性条件のもとで、暗黙のEulerスキームはδ < 1/2のレートで最適な経路的 Hölder 収束を達成する。
• 最適な指数γ < 1/2を有する離散 Hölder 範囲\| \cdot \|_{c(n)^\gamma}において収束が確立される。
• グローバルリプシッツ係数の場合、誤差のp次のモーメントは、E\|u - v^{(n)}\|_{c(n)^\gamma}^p \leq C n^{-\delta p} (1 + \|x_0\|_{L^p(\Omega; X^\eta)}^p)を満たす。
• ボレル＝カンテリの補題を用いた議論により、概収束する経路的 Hölder 収束が得られ、ほとんどすべてのωに対して収束速度n^{-\delta}が得られる。
• 局所化による議論により、局所リプシッツ係数に対しても同様の収束速度が保たれる。
• 本フレームワークは、X = L^p(D)およびH = L^2(D)の場合に特に適用可能であり、空間時間白色ノイズによって駆動される2階放物型SPDEに適用可能である。