[論文レビュー] Pathwise solutions to stochastic partial differential equations driven by fractional Brownian motions with Hurst parameters in $(1/3,1/2]$

Marı́a J. Garrido-Atienza, Kening Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 30, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ホルストパラメータ $ H \in (1/3, 1/2] $ を持つ分数 Browm運動によって駆動される確率的偏微分方程式（SPDE）に対して、経路ごとの穏やかな解の存在および一意性を、粗いパス理論と分数級数計算の組み合わせを用いて確立する。テンソル値の面積過程を導入し、 Hölder連続性の枠組みで連立系を定式化することで、非線形項および初期条件の滑らかさ仮定の下で、解のグローバル存在および近似解の収束を証明する。

ABSTRACT

Combining fractional calculus and the Rough Path Theory we study the existence and uniqueness of mild solutions to evolutions equations driven by a Hölder continuous function with Hölder exponent in $(1/3,1/2)$. Our stochastic integral is in some sense a generalization of the well-known Young integral and can be defined independently of the initial condition. Similar to the Rough Path Theory we establish a second variable which is given, roughly speaking, by a tensor product. It is then necessary to formulate a second equation for this new variable, and we do in a mild sense. The crucial point in order to get this new equation is to construct a tensor depending on the noise path but also on the semigroup. We then prove the existence of a unique Hölder continuous solution of the system of equations, consisting of the path and the area components, if the nonlinear term and the initial condition are sufficiently smooth. Once the abstract theory is developed, we can present a pathwise nonlinear SPDE driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter in $(1/3,1/2]$.

研究の動機と目的

• 確率的極限や例外的集合を避けて、ホルストパラメータ $ H \in (1/3, 1/2] $ を持つ分数 Browm運動によって駆動されるSPDEの経路ごとの解理論を構築すること。
• 解析的半群生成子を備えた無限次元確率的発展方程式に、粗いパス理論の枠組みを拡張すること。
• ノイズのパスと半群に依存するテンソル値の面積過程を構築し、2階方程式の定式化を可能にする。
• 非線形項の滑らかさ条件の下で、経路および面積成分の連立系に対する Hölder 連続解の存在および一意性を証明すること。
• 滑らかなパスに基づく近似解の系列が、適切な Hölder 範数において真の解に収束することを確立すること。

提案手法

• 粗いパス理論と分数級数計算を組み合わせ、Young 積分を一般化する経路ごとの確率積分を定義する。
• 半群依存の積分則を用いて、テンソル値の面積成分 $ v(t) = u(t) \otimes \omega(t) $ の2階方程式を導入する。
• Hu と Nualart (2008) のインスパイアを受けて、fBm の非マルコフ的かつ非半マルティンガール的性質に対処する補正分数導出法を採用する。
• 次の連立系を課す：(1) 溶液の弱い形 $ u(t) = S(t)u_0 + \int_0^t S(t-s)G(u(s)) \, d\omega(s) $、および (2) テンソル積 $ u \otimes \omega $ を含む面積方程式。
• 重み付きノルムを備えた Hölder 空間 $ W(0,1) $ において固定点定理を適用し、解ペア $ (u, v) $ の存在および一意性を証明する。
• 局所解を全時間区間へ拡張するために、局所化および連結化の議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な Itô または Stratonovich 積分が不成立となる $ H \in (1/3, 1/2] $ を持つ分数 Browm運動によって駆動されるSPDEに対して、経路ごとの解理論を構築可能か？
• RQ2 粗いパス理論は、解析的半群生成子を備えた無限次元SPDEにどのように適合可能か？
• RQ3 ヒルベルト空間における粗いパス統合に必要な反復積分構造を捉えるために、テンソル値の面積過程が果たす役割は何か？
• RQ4 非線形項 $ G $ および初期条件 $ u_0 $ にどのような滑らかさ条件が課されれば、一意な Hölder 連続解が存在するか？
• RQ5 滑らかなパスに基づく近似方程式の解の系列が、真の解に極限として収束するか？

主な発見

• 非線形項 $ G $ および初期条件 $ u_0 $ が十分に滑らかであれば、経路および面積成分の連立系に対して一意な Hölder 連続解が存在する。
• 解は初期条件に依存する例外的集合を含まず、経路ごとに構築され、古典的確率的PDE理論を拡張する。
• 確率積分は、Young 積分を一般化する分数導出法に基づいて定義され、経路ごとの推定が可能になる。
• 面積過程 $ v(t) = u(t) \otimes \omega(t) $ は、半群 $ S(t) $ を含む弱い方程式を満たし、粗いパス理論と整合性を保つ。
• 滑らかなパスに基づく近似解 $ U_n $ は、Hölder 範数 $ |||\cdot||| $ において真の解 $ U $ に収束し、$ \lim_{n\to\infty} |||U - U_n||| = 0 $ が成り立つ。
• 極限パスおよび面積に対して Chen の恒等式が成立し、無限次元設定における粗いパス構造の整合性が確認される。