[論文レビュー] Pathwise super-replication via Vovk's outer measure

Mathias Beiglböck, Alexander M. G. Cox+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ボフクのパスワイズアプローチとスコロホド埋め込み双対性を用いて、特異的デリバティブのモデル独立なスーパー複製定理を確立する。有限個のモーメンタル情報が与えられたとき、マルティングール測度上のプライマル期待値がロバストスーパー複製価格に等しくなることを証明し、実現分散オプション、ルックバックオプション、および離散的にモニタリングされたアジアオプションをカバーする。

ABSTRACT

Since Hobson's seminal paper [D. Hobson: Robust hedging of the lookback option. In: Finance Stoch. (1998)] the connection between model-independent pricing and the Skorokhod embedding problem has been a driving force in robust finance. We establish a general pricing-hedging duality for financial derivatives which are susceptible to the Skorokhod approach. Using Vovk's approach to mathematical finance we derive a model-independent super-replication theorem in continuous time, given information on finitely many marginals. Our result covers a broad range of exotic derivatives, including lookback options, discretely monitored Asian options, and options on realized variance.

研究の動機と目的

• 連続時間のモデル独立的ファイナンスにおける特異的デリバティブのロバスト価格設定・ヘッジ双対性を確立すること。
• ドリンスキー＝ソナーのスーパー複製定理を、実現分散に依存するオプションなど、二次変動およびボラティリティに依存するデリバティブに拡張すること。
• ボフクの外部測度と二次変動に基づくパス正則化を用いたパスワイズスーパー複製フレームワークを構築すること。
• 有限個のモーメンタル制約下で、プライマルスーパー複製価格がデュアルヘッジコストに等しいことを証明すること。
• スコロホド埋め込みフレームワーク下で時間不変のペイオフをカバーすること、特にルックバックおよび離散的にモニタリングされたオプションを含む。

提案手法

• 連続パスに二次変動を備えた外部測度を定義するボフクのパスワイズアプローチを用いる。
• 停止時刻に適応する単純戦略を用いて、パスワイズ確率積分 (H·S) を定義し、適切に定義された資本過程を保証する。
• ボフクのパスワイズダンビス＝デュビンス定理を適用し、パスを時間にスケールアップして二次変動が時間に一致するように変換する。
• 凸順序とマルティングールカップリングを用いた最適輸送の双対定式化を通じて、スコロホド埋め込み双対性を適用する。
• Υ連続性と関数 f の有界性を課して正則性を確保し、ヘッジ戦略の収束を保証する。
• 凸ペナルティ関数を用いたラグランジュ緩和およびコンパクト性の議論により、モーメンタル制約を扱い、双対性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次変動に依存し、時間変換に対して不変なパスに依存するデリバティブについて、モデル独立的スーパー複製定理を確立できるか？
• RQ2 連続時間において、有限個のモーメンタル制約下で、ヘッジコストの双対性と最大期待ペイオフが成立するか？
• RQ3 ボフクの外部測度とパスワイズ確率積分の枠組みを用いて、ドリンスキー＝ソナー定理をボラティリティ依存ペイオフに拡張できるか？
• RQ4 スコロホド埋め込み問題をどのように活用して、ルックバックや離散的にモニタリングされたアジアオプションのような特異的オプションのロバストヘッジ戦略を導出できるか？
• RQ5 ヨーロピアン型オプションとパス依存デリバティブの両方を統一的なパスワイズ確率積分論で含む双対性フレームワークを構築できるか？

主な発見

• プライマルスーパー複製価格 Pn は、指定されたモーメンタルを持つすべてのマルティングール測度 P についての EP[G] の上界として定義され、これがデュアルヘッジコスト Dn に等しい。
• デュアルコスト Dn は、定数 a とヘッジ戦略 (Hm) について、すべてのパス ω に対して a + ∑j∈I ψj(Sj) + lim infm→∞(Hm·S)n ≥ G(ω) を満たすようなものの下界として与えられる。
• この結果は、G(ω) = γ(t(ω)↾[0,⟨ω⟩n], ⟨ω⟩1, ..., ⟨ω⟩n) の形のペイオフ関数に対しても成立し、実現分散オプションやルックバックオプションを含む。
• 本フレームワークは連続的にモニタリングされたアジアオプションを除外するが、それらの離散的モニタリング版はカバーする。
• 証明は凸ペナルティ関数によるコンパクト性と、Υ連続マルティングールを用いたデュアル表現の制御に依存する。
• 双対性はモーメンタル制約に対してロバストであり、さらなる市場情報によって同様の不変形式の追加オプションを含めるまで拡張可能である。