[論文レビュー] Pathwise Taylor Expansions for Itô Random Fields

Rainer Buckdahn, Ingo Bulla+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、解とその空間微分の両方に依存する自己駆動型拡散項を有するイト型確率場に対して、普遍的な経路別確率的テイラー展開を導入する。この展開は任意の確率的時空点 $(\tau,\xi)$ のまわりで有効であり、例外的零集合は $(\tau,\xi)$ の選択に依存しない。これにより、勾配に依存する拡散係数を有する完全非線形SPDEに対する新しい確率的バナヒ解の定義が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we study the {\it pathwise stochastic Taylor expansion}, in the sense of our previous work \cite{Buckdahn_Ma_02}, for a class of Itô-type random fields in which the diffusion part is allowed to contain both the random field itself and its spatial derivatives. Random fields of such an "self-exciting" type particularly contains the fully nonlinear stochastic PDEs of curvature driven diffusion, as well as certain stochastic Hamilton-Jacobi-Bellman equations. We introduce the new notion of "$n$-fold" derivatives of a random field, as a fundamental device to cope with the special self-exciting nature. Unlike our previous work \cite{Buckdahn_Ma_02}, our new expansion can be defined around any random time-space point $( ,ξ)$, where the temporal component $ $ does not even have to be a stopping time. Moreover, the exceptional null set is independent of the choice of the random point $( ,ξ)$. As an application, we show how this new form of pathwise Taylor expansion could lead to a different treatment of the stochastic characteristics for a class of fully nonlinear SPDEs whose diffusion term involves both the solution and its gradient, and hence lead to a definition of the {\it stochastic viscosity solution} for such SPDEs, which is new in the literature.

研究の動機と目的

• 解とその空間微分の両方に依存する拡散項を有するイト確率場に対して、経路別確率的テイラー展開を拡張すること。
• 展開点 $(\tau,\xi)$ が停止時刻でなければならないという制限を撤廃し、任意の確率的点を許容すること。
• 展開における例外的零集合が $(\tau,\xi)$ の選択に依存しないように保証することにより、展開の普遍性と応用可能性を高めること。
• 新しい展開を用いて、勾配に依存する拡散係数を有する完全非線形SPDEに対する確率的バナヒ解を定義・解析すること。
• アントイチペイティング確率的微積分設定における従来のDoss-Sussmann変換の限界を克服すること。

提案手法

• 拡散項の自己駆動的性質を扱うために、確率場の $n$ 重微分の概念を導入する。
• 停止時刻でない任意の確率的点 $(\tau,\xi)$ のまわりに経路別テイラー展開を構築する。
• すべての確率的点に対して共通の普遍的零集合を用いることで、すべての点でほとんど確実に展開が成立することを保証する。
• テスト場 $\varphi$ に関連する確率的フローを介して、過程 $\phi_t$ を定義し、確率的特徴曲線に沿った評価を可能にする。
• $u(t, \phi_t(x, D\psi(t,x)))$ に展開を適用し、得られた展開を用いてバナヒ劣解条件を導出する。
• 展開の剰余項を活用して、確率的時空点 $(\tau,\xi)$ における $u$ と $\varphi$ の比較により、解が確率的バナヒ劣解条件を満たすことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解とその空間微分の両方に依存する拡散項を有するイト確率場に対して、経路別確率的テイラー展開を構築できるか？
• RQ2 展開点 $(\tau,\xi)$ が停止時刻でない任意の確率的時空ペアであっても、展開が有効に保たれるか？
• RQ3 すべての確率的展開点に適用可能な単一の零集合を構築することは可能か？ これにより展開の普遍性が保証される。
• RQ4 このような普遍的展開をどのように用いて、勾配に依存する拡散係数を有する完全非線形SPDEに対する確率的バナヒ解を定義・解析できるか？
• RQ5 新しい展開は、アントイチペイティング確率的微積分におけるDoss-Sussmann変換の限界を克服できるか？

主な発見

• 本稿は、自己駆動型拡散を有するイト確率場に対して、任意の確率的時空点 $(\tau,\xi)$ のまわりで有効であり、$(\tau,\xi)$ の選択に依存しない零集合を有する普遍的経路別確率的テイラー展開を確立した。
• 展開は、確率場の $n$ 重微分を用いて構築され、拡散係数における再帰的・自己駆動的構造を適切に扱える。
• 本手法により、解とその勾配の両方に依存する拡散係数を有する完全非線形SPDEに対する確率的バナヒ解の定義が可能となり、文献における新たな貢献となる。
• 展開を用いて、古典的解 $u$ が確率的バナヒ劣解であることを示した。具体的には、左最大集合上で $f(\xi, (u,Du,D^2u)(\tau,\xi)) - \theta(\tau,\xi) \geq 0$ がほとんど確実に成り立つことを示した。
• 同様の議論が上位解に対しても適用可能であり、$u$ が確率的バナヒ解を満たすことが示された。これにより、勾配に依存するSPDEに対する新しい解の概念が確立された。
• 自己駆動型の場合に失敗する従来のDoss-Sussmann変換に依存せず、普遍的零集合を有する新しい経路別展開を用いることで、代替的かつ強力なアプローチが実現された。