[論文レビュー] Pathwise Taylor Expansions for Random Fields on Multiple Dimensional Paths

Rainer Buckdahn, Jin Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、デュピルの関数的イトカルキュラスにインspiredされた新規のパス微分フレームワークを用いて、多次元ブラウン運動によって駆動される確率的場のパスワイズなテイラー展開を確立する。この研究は、先行研究を任意の次元に拡張し、前向きおよび後向きの時間的増分を両方可能にし、ほとんど確実に成り立つパスワイズな剰余項推定を提供する。これにより、前向きのパス依存型SPDEの新しいバニシティ解理論が構築可能となる。

ABSTRACT

In this paper we establish the pathwise Taylor expansions for random fields that are "regular" in the spirit of Dupire's path-derivatives \cite{Dupire}. Our result is motivated by but extends the recent result of Buckdahn-Bulla-Ma \cite{BBM}, when translated into the language of pathwise calculus. We show that with such a language the pathwise Taylor expansion can be naturally carried out to any order and for any dimension, and it coincides with the existing results when reduced to these special settings. More importantly, the expansion can be both "forward" and "backward" (i.e., the temporal increments can be both positive and negative), and the remainder is estimated in a pathwise manner. This result will be the main building block for our new notion of viscosity solution to forward path-dependent PDEs corresponding to (forward) stochastic PDEs in our accompanying paper \cite{BMZ}.

研究の動機と目的

• 確率的場のパスワイズテイラー展開を、多次元パスおよび一般の空間次元に拡張すること。
• イト型確率的場の解析を簡素化し、確率積分の直感的解釈を可能にするパス微分フレームワークの構築。
• 前向きおよび後向きの両方の時間的増分に対して有効な展開を定義すること。これにより、従来の1次元ブラウン運動に限定された研究の制限を克服する。
• 期待値や確率に基づく推定ではなく、ほとんど確実に成り立つパスワイズな剰余項推定を提供すること。これにより、先行研究の平均二乗推定を改善する。
• 前向きのパス依存型SPDEに対する新しいバニシティ解の概念を構築する基盤を提供すること。

提案手法

• デュピルの関数的イトカルキュラスの精神を踏まえた新規のパス微分概念を導入し、ブラウン運動のパス空間に適用する。
• 時間的およびパス的微分の合成関数則として、パスワイズなイト＝ヴェンツェルの公式を用い、確率積分の式を簡略化する。
• テイラー展開の係数をパス微分を用いて定義する：∂ₜu, ∂ᵤu, ∂ᵤᵤu, ∂ₓu, ∂ₓᵤu, ∂ₓₓu。
• SPDEの解に関数的イトの公式を適用し、係数がf, gおよびその微分の関数として明示的に表現されることを導出する。
• コルモゴロフ型連続性基準を用いてパスワイズな剰余項推定を確立し、ほとんどすべてのωに対して(t,x)において局所一様性を保証する。
• 剰余項Rα,mがすべてのp > 1に対してLᵖで一様有界であることを証明し、展開の可積分性およびロバスト性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的場のパスワイズテイラー展開を、多次元ブラウン運動によって駆動される場合に一般化できるか？
• RQ2 期待値や確率に基づく推定ではなく、ほとんど確実に成り立つパスワイズな剰余項推定をどのように構築できるか？
• RQ3 パス微分は、高次元における確率的テイラー展開の構造をどのように簡素化するか？
• RQ4 前向きおよび後向きの時間的増分に対して、一貫した方法でパスワイズに展開を定義できるか？
• RQ5 展開の係数は、SPDEの係数fおよびgの微分とどのように関係しているか？

主な発見

• パスワイズテイラー展開は、ブラウン運動の次元にかかわらず成立し、従来の1次元ブラウン運動に限定された結果を拡張する。
• 展開は前向きおよび後向きの両方の時間的増分に対して有効であり、係数はほとんど確実にパスワイズに定義される。
• 剰余項Rα,mは、すべてのp > 1に対してsup-normのLᵖ可積分性を満たし、強いパスワイズな制御性を保証する。
• 展開における係数（a,b,c,p,q,X）は、パス微分によって明示的に与えられる：a = ∂ₜu, b = ∂ᵤu, c = ∂ᵤᵤu, p = ∂ₓu, q = ∂ₓᵤu, X = ∂ₓₓu。
• 1次元設定または決定的ケースに制限した場合、古典的結果と一致する。
• パスワイズなイト＝ヴェンツェルの公式により、確率積分が時間およびパス変数における合成関数則として、洗練され直感的な解釈が可能になる。