[論文レビュー] Pattern avoidance in circular permutations

David Callan|ArXiv.org|Oct 1, 2002

Genome Rearrangement Algorithms参考文献 1被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、1324、1342、1234という1つの4文字パターンを回避する$[n]$上の巡回順列の個数を明示的な公式で提示する。$n-1$の位置に基づく構造的解析と再帰関係を用いて、1324に対して$F_{2n-3}$、1342に対して$2^{n-1} - (n-1)$、1234に対して$2^n + 1 - 2n - \binom{n}{3}$の閉形式解を得た。それぞれの成長率は$\phi^2 \approx 2.618$、$2$、$2$である。

ABSTRACT

Circular permutations on {1,2,...,n} that avoid a given pattern correspond to ordinary (linear) permutations that end with n and avoid all cyclic rotations of the pattern. Three letter patterns are all but unavoidable in circular permutations and here we give explicit formulas for the number of circular permutations that avoid one four letter pattern. In the three essentially distinct cases, the counts are as follows: the Fibonacci number F_{2n-3} for the pattern 1324, 2^{n-1}-(n-1) for 1342, and 2^{n}+1-2n-{n}choose{3} for 1234.

研究の動機と目的

• 巡回順列$[n]$において1つの4文字パターンを回避するものの正確な個数を特定すること。
• 1324、1342、1234を回避するような順列の個数について、閉形式の式を導出すること。
• 特に$n-1$の位置に注目した、巡回順列におけるパターン回避が課す構造的制約を分析すること。
• 再帰関係を確立し、フィボナッチ数や2進数列といった既知の組合せ的対象との双対的関係を同定すること。

提案手法

• $n-1$の位置$k$に基づく構造的分解で、$k=1$、$k=2$、$k \geq 3$のケースに分ける。
• 双対写像の使用：1324を回避する順列に対しては、連続する1を含まない0-1列への双対写像を確立し、フィボナッチ数と関連づける。
• 1342を回避する順列に対しては、特定の制約を満たす0-1列を用いた再帰的構成を行い、$2^{n-2} - 1$を含む再帰関係を導出する。
• 1234を回避する順列に対しては、部分列における減少順序制約を満たす文字の集合に対する二項係数による数え上げを行う。
• $n$を削除しラベルを調整することで、巡回順列をより小さなインスタンスに還元し、パターン回避性を保持する。
• 組合せ的恒等式を用いて構成の総和をとり、閉形式解を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回順列$[n]$において1324パターンを回避するものの正確な個数は何か？
• RQ2 巡回順列$[n]$において1342パターンを回避するものは何個で、その個数を可能にする構造的性質は何か？
• RQ3 巡回順列$[n]$において1234パターンを回避するものの個数は何か？また、順列の構造がこの個数にどのように制約を加えるか？
• RQ4 $n \to \infty$の極限において、1324-回避、1342-回避、1234-回避の巡回順列の個数に現れる成長定数は何か？

主な発見

• 1324を回避する巡回順列の個数はフィボナッチ数$F_{2n-3}$であり、成長率は$\phi^2 \approx 2.618$である。
• 1342を回避する巡回順列の個数は$2^{n-1} - (n-1)$であり、指数的成長率は2である。
• 1234を回避する巡回順列の個数は$2^n + 1 - 2n - \binom{n}{3}$であり、成長率は2である。
• 1324を回避する順列に対しては、連続する1を含まず最初が0である長さ$2n-3$の0-1列への双対写像が確立され、フィボナッチ数のカウントを裏付けた。
• 1342を回避する順列に対しては、長さ$n-1$の0-1列で、ちょうど1つの1を含まないものへの再帰的双対写像が構成され、$2^{n-1} - (n-1)$の公式が得られた。
• 解析により、$w_1$、$w_2$、$w_3$の部分列——特にそれらの順序と区間性——が、与えられたパターンを回避するかどうかを決定することが明らかになった。