[論文レビュー] Pattern Avoidance in Set Partitions

Bruce E. Sagan|ArXiv.org|Apr 12, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 37被引用数 79

ひとこと要約

本稿は、Klazarのパターン包含定義を用いて集合分割におけるパターン回避を調査し、任意の3要素パターンを回避する分割の正確な列挙式と母関数を提供する。また、対応する列挙列がP-再帰的であることを証明し、制限付き成長関数に基づく第二のパターン定義を導入することで、さらなる列挙的結果とqアナロジーのフィボナッチ数およびマホニアン統計との関係を明らかにする。

ABSTRACT

The study of patterns in permutations in a very active area of current research. Klazar defined and studied an analogous notion of pattern for set partitions. We continue this work, finding exact formulas for the number of set partitions which avoid certain specific patterns. In particular, we enumerate and characterize those partitions avoiding any partition of a 3-element set. This allows us to conclude that the corresponding sequences are P-recursive. Finally, we define a second notion of pattern in a set partition, based on its restricted growth function. Related results are obtained for this new definition.

研究の動機と目的

• 特定のパターンを回避する集合分割、特に3要素集合のすべての分割を列挙すること。
• 3要素パターンを回避する分割の構造を特徴づけ、その列挙列がP-再帰的であることを証明すること。
• 制限付き成長関数に基づく第二のパターンの概念を導入し、その分析を行うこと。
• パターン回避集合分割とqアナロジーのフィボナッチ数およびマホニアン統計との関係を調査すること。

提案手法

• 部分分割と順序同型を用いて、標準化写像を用いて集合分割におけるパターン包含を定義する。
• 指数型母関数と公式 $\sum_{n=0}^\infty a_{n,l}^I \frac{x^n}{n!} = \frac{F_I(x)^l}{l!}$ を用い、与えられた集合 $I$ に属するブロックサイズを持つ分割を数える。
• 制限付き成長関数（RGFs）を定義し、第二のパターン定義を導入することで、新たな列挙的結果を得る。
• 母関数と組合せ的構成を用いて、回避クラスの閉形式およびP-再帰的列挙列を導出する。
• qアナロジーを介して、パターン回避分割と非交差分割、フィボナッチ数といった既知の組合せ的対象との関係を確立する。
• ポセット理論とモービウス関数を用いて、集合分割のパターン包含ポセットの構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 $[n]$ のパターンを回避する集合分割の正確な数は何か？
• RQ2 パターン回避集合分割を数える列挙列はP-再帰的であるか。もしそうならば、その理由は何か？
• RQ3 制限付き成長関数に基づく第二のパターン定義は、回避分割の列挙にどのように影響するか？
• RQ4 パターン回避集合分割とqアナロジーのフィボナッチ数、またはマホニアン統計との間にどのような関係があるか？
• RQ5 パターン包含で順序付けられた集合分割のポセットのモービウス関数は何か？

主な発見

• 任意の3要素パターンを回避する分割の数はP-再帰的列挙列で与えられ、この列挙列がP-再帰的であることが確認された。
• パターン $1/2/3$ の場合、すべての $n$ に対して回避分割の数は $1$ である。これは、すべての単位集合からなる分割のみがこれを回避するためである。
• $13/2$ を回避する分割の母関数は $F_{13/2}(x) = \exp_{\leq 2}(x)$ であり、これはブロックサイズが2以下である分割の指数型母関数に一致する。
• $1/2/3$ と $13/2$ の両方を同時に回避する分割の母関数は $F_{1/2/3,13/2}(x) = \sum_{n=0}^\infty F_n \frac{x^n}{n!}$ である。ここで $F_n$ は $n$ 番目のフィボナッチ数である。
• 本稿では、パターン回避分割上の母関数を用いて、フィボナッチ数のqアナロジーを統一的枠組みで確立した。
• パターン包含で順序付けられた集合分割のポセットは、合成のポセットから生じる構造的性質を継承し、レイヤード置換からレイヤード分割へのモービウス関数の結果が拡張された。