[論文レビュー] Pattern avoidance seen in multiplicities of maximal weights of affine Lie algebra representations

Shunsuke Tsuchioka, Masaki Watanabe|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、型 $A^{(1)}_{n}$、$A^{(2)}_{2n}$、$D^{(2)}_{n+1}$ の可解的最高ウェイト表現における最大ウェイトの重複度が、パターン回避語によって数え上げられることを確立している。これは、Misra と Rebecca の予想を証明および一般化するものである。Kashiwara のクリスタル理論と RSK 対応を用いて、組合せ的パターン回避および $q$-二項係数の恒等式を通じて、これらの重複度の明示的公式が導出される。

ABSTRACT

We prove that the multiplicities of certain maximal weights of $\mathfrak{g}(A^{(1)}_{n})$-modules are counted by pattern avoidance on words. This proves and generalizes a conjecture of Misra-Rebecca. We also prove similar phenomena in types $A^{(2)}_{2n}$ and $D^{(2)}_{n+1}$. Both proofs are applications of Kashiwara's crystal theory.

研究の動機と目的

• 型 $\widehat{\mathfrak{sl}}_p$ のレベル 2 表現における支配的最高ウェイトの数に関する Misra と Rebecca の予想を証明し、一般化すること。
• 型 $A^{(1)}_{n}$ にとどまらず、型 $A^{(2)}_{2n}$ および $D^{(2)}_{n+1}$ に対しても、ウェイト重複度と組合せ的パターン回避との関係を拡張すること。
• Kashiwara のクリスタル理論と RSK 対応を用いて、ウェイト重複度の組合せ的解釈を提供すること。
• $q$-二項係数と $q$-Lucas 定理を用いて、$\mathfrak{g}(A^{(1)}_{p-1})$ のレベル-$k$ 表現における支配的最高ウェイトの数の閉形式公式を導出すること。

提案手法

• 著者たちは、可解的最高ウェイトモジュールの構造を分析するために Kashiwara のクリスタル理論を用いる。
• 線形不等式を満たす整数列の集合 $S^{(p,s)}_k$ を定義し、これらが支配的最高ウェイトの集合に一対一対応することを示す。
• 支配的性を保証するためのシフトパラメータ $q_0$ を用いて、$S^{(p,s)}_k$ と最高ウェイトとの間の双対性を構成する。
• $q$-二項係数と $q$-Lucas 定理を含む組合せ的恒等式を適用し、これらの集合のサイズを評価する。
• $\sum_{\lambda \in \mathsf{Par}, \ell(\lambda)\leq j, \lambda_1\leq k} q^{|\lambda|} = {k+j \brack j}$ という $q$-二項係数の恒等式を用い、平面分割の数え上げとウェイト重複度を関連付ける。
• 最終的な公式は、単位根の和をとり、Euler のトーティエント関数 $\phi(d)$ を用いた Möbius の反転公式を用いて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可解的リー代数 $\mathfrak{g}(A^{(1)}_{p-1})$ のレベル-$k$ 可解的最高ウェイトモジュール $V(k\Lambda_0)$ における支配的最高ウェイトの数は何か？
• RQ2 $\mathfrak{g}(A^{(1)}_{p-1})$-モジュールにおける最大ウェイトの重複度は、どのようにパターン回避語に関係しているか？
• RQ3 型 $A^{(2)}_{2n}$ および $D^{(2)}_{n+1}$ におけるウェイト重複度の組合せ的構造は、同様にパターン回避を用いて特徴付けられるか？
• RQ4 $q$-Lucas 定理は、可解的リー代数表現におけるウェイト集合のサイズを評価するために果たす役割は何か？
• RQ5 $V(\Lambda)$ のクリスタル構造は、どのようにパターン回避列の組合せ的性質を符号化しているか？

主な発見

• 可解的リー代数 $\mathfrak{g}(A^{(1)}_{p-1})$ の $V(k\Lambda_0)$ における支配的最高ウェイトの数は、$\frac{1}{p+k}\sum_{d \mid \gcd(k,p)} \phi(d) \binom{(p+k)/d}{k/d}$ で与えられ、これは Misra と Rebecca の予想を証明する。
• $\Lambda = \Lambda_0 + \Lambda_s$ のとき、$V(\Lambda)$ における $\Lambda - \lambda^p_{\ell,s}$ の重複度は $\mathsf{D}_{\ell,s}$ に等しく、これは $(0,0)$ から $(\ell+s,\ell)$ まで、$y=x$ 以下にとどまる格子路の数であり、Dyck 路の数を数える。
• $\Lambda - \mu^p_{\ell,s}$ の重複度は $\mathsf{D}_{\ell,p-s}$ に等しく、これは Dynkin 図の自己同型 $i \mapsto -i$ による双対性を示している。
• $S^{(p,0)}_k$ は支配的最高ウェイトをパラメトライズする集合であり、整数列 $T$ および $U$ との間に双対性がある。ここで $U$ は、$\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_{p-1} \geq 0$、$\sum \lambda_i \in p\mathbb{Z}$、$\lambda_1 \leq k$ を満たす整数列 $\lambda_i$ の集合である。
• $U$ のサイズは $\frac{1}{p}\sum_{\zeta^p=1} {k+p-1 \brack p-1}\big|_{q=\zeta}$ で与えられ、$q$-Lucas 定理により、$\gcd(k,p)$ の約数 $d$ に関する和に簡約される。
• 支配的最高ウェイトの数の最終的な公式は $\frac{1}{p+k}\sum_{d \mid k, d \mid p} \phi(d) \binom{(p+k)/d}{k/d}$ であり、これは Misra と Rebecca が予想した式と一致する。