[論文レビュー] Pattern avoidance with involution

James D. Currie|arXiv (Cornell University)|May 13, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、2文字アルファベット上における自己同型を伴う単項パターンの形態的および反形的回避指数を決定する。すべての長さ4以上のパターン（自明な場合を除く）に対して、形態的および反形的両方の回避指数が正確に2であることを示し、Thue-Morse列および関連する無限語に基づく構成を用いて、形態的および反形的自己同型の下で特定の因子パターンを回避することを証明する。

ABSTRACT

We give the avoidance indices (morphic and antimorphic) for all unary patterns with involution.

研究の動機と目的

• すべての自己同型を伴う単項パターンの形態的および反形的回避指数を分類すること。
• 形態的および反形的写像の下で、変数とその自己同型像を含むパターンの回避行動を解明すること。
• 組合せ論的言語学における古典的パターン回避理論を、自己同型的対称性を含む形に拡張すること。
• 形態的および反形的自己同型の下で、特定の因子パターンを回避する無限二進語を構成すること。
• すべての非自明な長さ≥4の単項パターンが、形態的および反形的両設定で回避指数2を有することを確立すること。

提案手法

• Thue-Morse列を用いて、形態的自己同型の下でxxg(x)x型の因子を回避する無限二進語w = ∏_{j=0}^∞ 0²1^{t_i+2}を構成する。
• h(0)=01, h(1)=10である写像hを用い、t = h^ω(0)としてThue-Morse列tを定義し、wおよびvにおけるブロック構造を定義する。
• 形態的または反形的自己同型の下で、xxg(x)x、g(x)xxg(x)、xxxxなどの禁止因子の存在を仮定し、背理法を適用する。
• xに含まれる構造的制約（例：000, 111, 010, 101を含まない）を分析し、禁止因子を生成する可能性のあるxの形式を除外する。
• 形態的自己同型（恒等写像および補数写像）と反形的自己同型（反転および逆転補数）を別々に検討する。
• Thue-Morse列が重複および平方を回避することを応用し、xおよびg(x)における繰り返し構造を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2文字アルファベット{ x, g(x) }上における自己同型を伴う単項パターンpの形態的回避指数は何か？
• RQ2 同様に、その反形的回避指数は何か？
• RQ3 どの自己同型を伴う単項パターンでは回避指数が無限大であり、どのパターンでは有限であるか？
• RQ4 与えられたパターンpのすべての形態的および反形的インスタンスを回避する無限二進語を構成できるか？
• RQ5 自己同型的対称性の下で、長さ4以上のパターンの回避指数はどのように振る舞うか？

主な発見

• xxxおよびg(x)g(x)g(x)を除く、長さ3のすべての単項パターンpに対して、形態的および反形的両回避指数は3である。
• xg(x)、g(x)x、x、g(x)のパターンに対しては、両回避指数は無限大である。なぜなら、それらのインスタンスを回避する無限語は存在しないからである。
• xxxまたはg(x)g(x)g(x)を因子に含まない、長さ4以上のすべての単項パターンpに対して、形態的および反形的両回避指数は正確に2である。
• 無限語w = ∏_{j=0}^∞ 0²1^{t_i+2}は、形態的自己同型の下で、xxg(x)x型のすべての因子を回避する。
• 無限語v = ∏_{j=0}^∞ 01^{2t_i+1}は、形態的自己同型の下で、g(x)xxg(x)型のすべての因子を回避する。
• 無限語(0001)^ωは、反形的自己同型の下で、xxg(x)g(x)、xg(x)xg(x)、g(x)xxg(x)のすべての因子を回避する。