[論文レビュー] Pattern Clustering using Cooperative Game Theory

Swapnil Dhamal, Satyanath Bhat+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2012

Complex Network Analysis Techniques参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ペアワイズ距離に基づく特徴関数を用いてパターンクラスタリングを協力ゲームとして定式化する、新しいクラスタリング手法DRAC（Density-Restricted Agglomerative Clustering）を提案する。この定式化のもとで、Nucleolus、Shapley値、Gately点、τ値が一致することを示し、その結果、公平性と安定性の性質を保ちながらも、Shapley値による計算の効率性を実現できる。

ABSTRACT

In this paper, we approach the classical problem of clustering using solution concepts from cooperative game theory such as Nucleolus and Shapley value. We formulate the problem of clustering as a characteristic form game and develop a novel algorithm DRAC (Density-Restricted Agglomerative Clustering) for clustering. With extensive experimentation on standard data sets, we compare the performance of DRAC with that of well known algorithms. We show an interesting result that four prominent solution concepts, Nucleolus, Shapley value, Gately point and τ-value coincide for the defined characteristic form game. This vindicates the choice of the characteristic function of the clustering game and also provides strong intuitive foundation for our approach.

研究の動機と目的

• K-means、凝集型クラスタリング、DBSCAN、OPTICSといった従来のクラスタリング手法の限界を克服するため、ゲーム理論的な枠組みを導入すること。
• 協力ゲーム理論の解概念を用いて、クラスタ数kを原理的かつ一貫して決定する手法を提供すること。
• 協力ゲーム理論の解概念を通じて、公平性、安定性、効率性を保証するクラスタリングアルゴリズムの開発。
• 提案されたゲーム定式化のもとで、複数の解概念（Nucleolus、Shapley値、Gately点、τ値）が一致することを形式的に証明すること。
• 既存手法の欠点を克服する密度制限付き凝集型クラスタリング手法（DRAC）の設計。

提案手法

• データポイントの集合Nと、協力ゲームの特徴関数ν(S)を用いてクラスタリングを特徴関数形式ゲーム（N, ν）として定式化する。ここで、ν(S)は、S ⊆ N に対するペアワイズ類似度関数 f(d(i,j)) に基づいて定義される。
• すべての S ⊆ N に対して、ν(S) = ∑_{i<j, i,j∈S} f(d(i,j)) と定義する。ここで f(d(i,j)) は、点 i と j の間の類似度を表す。
• 公平性と計算効率の両立を考慮し、主にShapley値を解概念として採用する。各点 i に対して、φ_i = (1/2)∑_{j≠i} f(d(i,j)) で計算可能である。
• 解概念の一致を活用する。コアが対称的であり、ゲームが完全にバランスが取れていることから、Nucleolus、Shapley値、Gately点、τ値がすべて一致する。
• 密度領域を優遇するように設計された、密度制限付きの凝集型アルゴリズムとしてDRACを構築し、Shapley値を用いてクラスタ形成を誘導する。
• 線形計画法と協力ゲーム理論の公理を用いて、インピューションの安定性と公平性を保証し、解概念の等価性に関する形式的証明を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Nucleolus、Shapley値、Gately点、τ値といった協力ゲーム理論の解概念を、パターンクラスタリングに効果的に適用可能か。
• RQ2 クラスタリングゲームにおいて、Nucleolus、Shapley値、Gately点、τ値が一致する条件は何か。
• RQ3 協力ゲーム理論に基づくクラスタリングアルゴリズムは、K-means、DBSCAN、OPTICSといった従来手法を、クラスタ品質およびロバスト性の観点で上回るか。
• RQ4 提案された特徴関数 ν(S) は、安定かつ公平な解をもたらし、直感的なクラスタリング行動を反映するか。
• RQ5 Nucleolusの計算複雑度を回避するために、Shapley値のような効率的に計算可能な等価な解概念を活用できるか。

主な発見

• 提案されたクラスタリングゲームにおいて、Nucleolus、Shapley値、Gately点、τ値がすべて一致することが、第V節で形式的に証明された。
• Shapley値は多項式時間で計算可能であり、φ_i = (1/2)∑_{j≠i} f(d(i,j)) と表されるため、DRACにおける効率的実装が可能である。
• 解概念の一致は、ゲームのコアが対称的であり、中心が単一の点に集中していることに起因する。このため、すべての解概念が等しくなる。
• 特徴関数 ν(S) = ∑_{i<j, i,j∈S} f(d(i,j)) が、解概念の一致によって裏付けられ、理論的根拠が強固に裏付けられる。
• 標準データセットを用いた広範な実験により、DRACはK-means、凝集型クラスタリング、DBSCAN、OPTICSを上回ることを示した。
• 協力ゲーム理論の定式化により、統一的かつ公平で安定したクラスタリングフレームワークが提供され、ミニマックス公平性と安定性の両方の性質が統合された。