[論文レビュー] Pattern Recognition on Oriented Matroids: Layers of Tope Committees

Andrey O. Matveev|ArXiv.org|Dec 13, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、単純な向き付きマトロイドにおけるトーピー委員会を用いたパターン認識のための組合せ的枠組みを導入する。ここで委員会とは、各正の半空間にそのメンバーの半数を超えるものが含まれる最大共ベクトル（トーピー）の部分集合である。主な貢献は、フェアリー部分列およびブール格子とクロスオルセプトの順序集合から導かれる関連付け体系を用いた、これらの委員会の構造的特徴付けであり、特にブール格子の $m$ 番目の層がフェアリー列 $Σ(ℚ(ℚ(2m), m)$ にリンクすることを示している。

ABSTRACT

A tope committee K* for a simple oriented matroid M is a subset of its maximal covectors such that every positive halfspace of M contains more than half of the covectors from K*. The structures of the family of all committees for M, and of the family of its committees that contain no pairs of opposites, are described. A Farey subsequence associated with the elements of the m-th layer of the Boolean lattice of rank 2m is explored.

研究の動機と目的

• 単純で非アセイクルな向き付きマトロイドのすべてのトーピー委員会の族を特徴付けること。
• 対になるトーピーを含まないトーピー委員会の部分族を記述すること。
• これらの委員会の組合せ的構造と特定のフェアリー列の部分列との間の関係を確立すること。
• クロスオルセプトの面格子から導かれる関連付け体系を用いて委員会構造をモデル化すること。
• 向き付きマトロイド上のパターン認識と、ランク $2m$ のブール格子の $m$ 番目の層の組合せ論的構造との間の明示的リンクを提供すること。

提案手法

• トーピー委員会を、各 $e \in E_t$ に対して $|\mathcal{K}^* \cap \mathcal{T}_e^+| > |\mathcal{K}^*|/2$ を満たす最大共ベクトルの部分集合 $\mathcal{K}^* \subset \mathcal{T}$ として定義する。
• 対のない $\pm[1,m]$ の部分集合からなる順序集合 $\mathbf{O}(m)$ を、包含関係と最大元 $\hat{1}$ を加えたものとして、委員会構造をモデル化する。
• $\boldsymbol{X} = \mathbf{O}(m)^{(d)}$ 上に、$\partial(x,y) = d - \rho(x \wedge y)$ によるランク差に基づく分割 $\boldsymbol{\mathcal{R}} = (\boldsymbol{R}_0, \dots, \boldsymbol{R}_d)$ を構成する。
• $\boldsymbol{X} = \{-1,1\}^m$ 上に、ハミング距離を数える関係 $\boldsymbol{R}_i$ を用いた関連付け体系 $\mathbf{H}(m,2)$ を定義し、$m$-立方体のパラメータと一致することを示す。
• ブール格子 $\mathbb{B}(|\mathcal{T}|)$ の $\frac{|\mathcal{T}|}{2}$-層を、標準的フェアリー列から性質を継承するフェアリー部分列 $\mathcal{F}(\mathbb{B}(2m), m)$ に結びつける。
• 対になるトーピーを含まない委員会の族が、$\frac{1}{2}$-ブロッキング要素の順序集合 $\mathbf{I}_{1/2}(\mathbf{O}'(\mathcal{T}), \Upsilon)$ に同型であることを確立し、これは $\frac{|\mathcal{T}|}{2}$-立方体 $\mathbf{H}(\frac{|\mathcal{T}|}{2}, 2)$ のパラメータを持つ関連付け体系である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純な向き付きマトロイドにおけるすべてのトーピー委員会の族は、どのように構造的に特徴付けられるか？
• RQ2 対になるトーピーを含まないトーピー委員会の部分族の組合せ的性質は何か？
• RQ3 ランク $2m$ のブール格子 $\mathbb{B}(2m)$ の $m$ 番目の層は、フェアリー部分列 $\mathcal{F}(\mathbb{B}(2m), m)$ とどのように関係しているか？
• RQ4 特にハミング体系 $\mathbf{H}(m,2)$ を含む関連付け体系は、トーピー委員会のモデル化において果たす役割は何か？
• RQ5 クロスオルセプトの面格子 $\mathbf{O}(m)$ の構造は、向き付きマトロイド上のパターン認識における委員会意思決定ルールとどのように関係しているか？

主な発見

• 単純で非アセイクルな向き付きマトロイド $\mathcal{M}$ に対して、すべてのトーピー委員会の族 $\mathbf{K}^*(\mathcal{M})$ は空でなく、フェアリー部分列を用いた構造的特徴付けがなされる。
• 対のないトーピーを含まない委員会の部分族 $\overset{\circ}{\mathbf{K}}{}^*(\mathcal{M})$ は、関連付け体系における $\frac{1}{2}$-ブロッキング要素の順序集合 $\mathbf{I}_{1/2}(\mathbf{O}'(\mathcal{T}), \Upsilon)$ に同型である。
• ブール格子 $\mathbb{B}(2m)$ の $m$ 番目の層は、標準的フェアリー列 $\mathcal{F}_n$ から性質を継承するフェアリー部分列 $\mathcal{F}(\mathbb{B}(2m), m)$ を生成する。
• 順序集合 $\mathbf{O}(\mathcal{T})$ の $\frac{|\mathcal{T}|}{2}$-層上の関連付け体系のパラメータは、ハミング体系 $\mathbf{H}(\frac{|\mathcal{T}|}{2}, 2)$ のものと一致し、$i+j+k$ が偶数のとき、交差数は $\mathtt{p}_{ij}^k = \binom{m-k}{(i+j-k)/2}\binom{k}{(i-j+k)/2}$ となる。
• $\pm[1,m]$ の $d$ 部分集合 $V$ で、$s \in V \Rightarrow -s \not\in V$ を満たすものの数は $\binom{m}{d}2^d$ であり、これは $\mathbf{O}(m)$ の第二種のホイットニー数を与える。
• 任意の $x \in \boldsymbol{X} = \mathbf{O}(m)^{(d)}$ に対して、$\partial(z,x) = i$ を満たす要素 $z$ の数は $\mathtt{n}_i = \binom{d}{i} \sum_{c=0}^i \binom{i}{c} \binom{m-d}{c} 2^c$ である。