[論文レビュー] Pattern Rigidity and the Hilbert-Smith Conjecture

Mahan Mj|Jun 23, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 59被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、群 $G$ のパターンを保存する quasi-isometry の群を分析することにより、余次元1の擬凸部分群をもつ双曲的 Poincaré duality 群のパターン剛性を確立する。境界の次元条件（Hausdorff次元が位相次元より2未満）が満たされる場合、$G$ を含む任意の群は $G$ において有限指数を持つことを証明し、トポロジーおよび測度空間幾何学的手法を用いて、相対的設定への quasi-isometric 剛性の拡張を達成する。

ABSTRACT

In this paper we initiate a study of the topological group $PPQI(G,H)$ of pattern-preserving quasi-isometries for $G$ a hyperbolic Poincare duality group and $H$ an infinite quasiconvex subgroup of infinite index in $G$. Suppose $\partial G$ admits a visual metric $d$ with $dim_H < dim_t +2$, where $dim_H$ is the Hausdorff dimension and $dim_t$ is the topological dimension of $(\partial G,d)$. a) If $Q_u$ is a group of pattern-preserving uniform quasi-isometries (or more generally any locally compact group of pattern-preserving quasi-isometries) containing $G$, then $G$ is of finite index in $Q_u$. b) If instead, $H$ is a codimension one filling subgroup, and $Q$ is any group of pattern-preserving quasi-isometries containing $G$, then $G$ is of finite index in $Q$. Moreover, (Topological Pattern Rigidity) if $L$ is the limit set of $H$, $\LL$ is the collection of translates of $L$ under $G$, and $Q$ is any pattern-preserving group of {\it homeomorphisms} of $\partial G$ preserving $\LL$ and containing $G$, then the index of $G$ in $Q$ is finite. We find analogous results in the realm of relative hyperbolicity, regarding an equivariant collection of horoballs as a symmetric pattern in a {\it hyperbolic} (not relatively hyperbolic) space. Combining our main result with a theorem of Mosher-Sageev-Whyte, we obtain QI rigidity results. An important ingredient of the proof is a version of the Hilbert-Smith conjecture for certain metric measure spaces, which uses the full strength of Yang's theorem on actions of the p-adic integers on homology manifolds. This might be of independent interest.

研究の動機と目的

• 無限大の擬凸部分群をもつ双曲的 Poincaré duality 群に対して、トポロジー的パターン剛性を確立すること。
• 境界の次元条件のもとで、$G$ を含む任意のパターンを保存する quasi-isometry の群が $G$ において有限指数を持つことを証明すること。
• 対称的なホロボールのパターンを幾何的構造として扱うことで、相対的双曲的設定への quasi-isometric 剛性の一般化を図ること。
• Yang の $p$-進作用に関する定理を活用し、Ahlfors 正規の測度空間に適応した Hilbert-Smith 予想の版を構築すること。
• 線形構造への依存を排除し、線形代数的技法の代わりに境界の位相および測度空間幾何学を用いること。

提案手法

• 双曲的 PD 群 $G$ および無限大指数の擬凸部分群 $H$ に対して、パターンを保存する quasi-isometry の群 $PPQI(G,H)$ を定義する。
• 境界 $\partial G$ における視覚的距離を用い、$\dim_{\text{haus}} < \dim_t + 2$ または同値な $ACD(\partial G) < \dim_t + 2$ の条件を課して境界の幾何を制御する。
• Ahlfors 正規の測度空間の理論を応用し、quasi-isometric 動作および共形次元を分析する。
• Newman-Smith の定理および $p$-進群作用がホモロジー多様体に作用する際の Yang の結果を用いて、病理的な群元を除外する。
• 余次元1の部分群を用いて $\partial G$ 上に組合せ的交比を構成し、幾何的構造を検出する。
• 有限軌道の挙動を分析し、軌道径路の制御を通じて均一位相と関連付けるために、$PPQI(G,H)$ に「置換位相」を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的 PD 群 $G$ と余次元1の擬凸部分群 $H$ をもつ場合、$G$ のパターンを保存する quasi-isometry の群が $G$ において有限指数を持つための境界次元条件は何か？
• RQ2 対称的なホロボールのパターンを幾何的構造として扱うことで、quasi-isometric 剛性を相対的双曲的群へ拡張できるか？
• RQ3 双曲的群の境界から生じる Ahlfors 正規の測度空間に対して、Hilbert-Smith 予想をどの程度まで適応できるか？
• RQ4 $PPQI(G,H)$ に小さな根、小さなねじれ要素、$p$-進部分群が存在しないことを利用して、有限指数の結果をどのように導けるか？
• RQ5 $PPQI(G,H)$ に導入された置換位相を用いて、パターンを保存する群の有限性定理における局所コンパクト性の仮定を置き換えられるか？

主な発見

• $\partial G$ が $\dim_{\text{haus}} < \dim_t + 2$ を満たす視覚的距離をもつならば、$G$ を含む任意の局所コンパクトなパターンを保存する一様 quasi-isometry 群 $Q_u$ は $G$ において有限指数を持つ。
• 余次元1の埋め込み部分群 $H$ に対して、$G$ を含む任意のパターンを保存する quasi-isometry 群 $Q$ は、局所コンパクト性がなくても $G$ において有限指数を持つ。
• トポロジー的パターン剛性が成立する：$Q$ が $H$ の極限集合 $L$ の $G$-軌道を保存する $\partial G$ の位相同相の群であり、$Q$ が $G$ を含むならば $[Q:G] < \infty$ である。
• ホロボールの集合を、負曲率多様体の有限体積な普遍被覆における対称的パターンとして扱うことで、相対的双曲的群へ拡張可能である。
• 双曲的 PD 群の境界として生じる Ahlfors 正規の測度空間に対して、Yang の $p$-進作用に関する定理を用いて、Hilbert-Smith 予想の版が証明された。
• 証明は、境界の位相および測度空間構造を用いて、位相的に可除な要素、小さなねじれ要素、$p$-進部分群を除外することに依存している。