[論文レビュー] Patterns in column strict fillings of rectangular arrays

Johannes Harmse, Jeffrey B. Remmel|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、各列に下向きに増加する $k \times n$ 直方体アレイの列厳密な充填におけるパターンマッチングを研究する。標準型の表 $P$ の形 $2^k$ に対して、$P$-マッチ、非オーバーラップマッチ、$P$-交互充填を定義し、それらの分布の母関数を導出し、標準型表 $2^n$ と長さ $n-1$ のモーツキン経路との間の双対性を確立する。主な結果として、ウィルフ同値性に関する考察と、特別な充填の列挙が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we study pattern matching in the set F_{n,k} of fillings of the k x n rectangle with the integers 1,...,kn such that the elements in any column increase from bottom to top. Let P be a column strict tableau of shape 2^k. We say that a filling F in F_{n,k} has P-match starting at i if the elements of F in columns i and i+1 have the same relative order as the elements of P. We compute the generating functions for the distribution of P-matches and nonoverlapping P-matches for various classes of standard tableaux of shape 2^k. We say that a filling F in F_{n,k} is P-alternating if there are P-matches of F starting at all odd positions but there are no P-matches of F starting at even positions. We also compute the generating functions for P-alternating elements of F_{n,k} for various classes of standard tableaux of shape 2^k.

研究の動機と目的

• 置換におけるパターンマッチング概念を、各列に下向きに増加する長方形アレイの列厳密な充填へ一般化すること。
• 標準型表 $P$ の形 $2^k$ に対して、$\mathcal{F}_{n,k}$（各列に増加する $k\times n$ 充填の集合）における $P$-マッチ、非オーバーラップ $P$-マッチ、$P$-交互充填を定義し、それらを分析すること。
• 標準型表 $P$ の形 $2^k$ に対して、これらのパターン出現の分布の母関数を計算すること。
• 標準型表 $2^n$ と長さ $n-1$ のモーツキン経路との間の双対性を確立し、組合せ的列挙と経路数え上げを結びつけること。
• $P$-マッチ分布の文脈において、ウィルフ同値性と補完対称性を探索すること。

提案手法

• 各列に増加する $k\times n$ 充填の集合 $\mathcal{F}_{n,k}$ を、$1$ から $kn$ までの異なる整数を用いて定義する。
• 標準型表 $P$ の形 $2^k$ を固定し、$F\in\mathcal{F}_{n,k}$ における $P$-マッチを、列 $i$ と $i+1$ の相対的順序が $P$ と一致するものとして定義する。
• 相対的順序の正規化と比較のため、$F$ の縮約充填 $\mathrm{red}(F)$ を用いる。
• 標準型表 $P$ からグラフ $G_{P,n}$ を構成し、$F\in\mathcal{F}_{n,k}$ のセル間の依存関係をモデル化し、セルの半順序集合 $\mathcal{W}_{P,n}$ を得る。
• 線形拡張の1対1対応が $\mathcal{W}_{P,n}$ と $P$-交互充填の間にあることを確立し、半順序集合の線形拡張を用いた列挙が可能になる。
• 一般化された補完操作 $F^{gc} = f_x \circ f_y \circ c(F)$ を適用し、$P$ と $P^{gc}$ が $c$-ウィルフ同値であることを示し、分析すべきケース数を削減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 置換における標準的なパターンマッチング概念を、各列に下向きに増加する長方形アレイの列厳密な充填へどのように拡張できるか？
• RQ2 標準型表 $P$ の形 $2^k$ に対して、$\mathcal{F}_{n,k}$ における $P$-マッチの数の母関数は何か？
• RQ3 $P$-マッチがすべて奇数番目の開始位置で発生するが偶数番目では発生しない、$P$-交互充填の母関数は何か？
• RQ4 $P$ の構造と $P$-交互充填の数の関係、特に半順序集合の線形拡張の観点から、どのような関係があるか？
• RQ5 補完などの対称性が $P$-マッチの分布に与える影響は何か？ これによりウィルフ同値性にどのような含意が生じるか？

主な発見

• 標準型表 $2^n$ と長さ $n-1$ のモーツキン経路の間には双対性 $\Gamma: St_{2^n} \to \mathcal{M}^{(2)}_{n-1}$ が存在し、これは形 $2^n$ の退化表の数が $n-1$ 番目のモーツキン数に等しいことを示している。
• 形 $2^k$ の退化標準型表 $P$ に対して、$P$ と $Q$ は強く $c$-ウィルフ同値である。これは、$P$-マッチの母関数 $D^P(t,x)$ と $D^Q(t,x)$ が同一であることを意味する。
• 一般化された補完操作は $F^{gc} \in \mathcal{F}_{n,k}$ かつ $P^{gc} \in St_{2^k}$ を満たし、$F \in \mathrm{Full}_n^P$ であることと $F^{gc} \in \mathrm{Full}_n^{P^{gc}}$ が同値である。よって $\mathrm{full}_n^P = \mathrm{full}_n^{P^{gc}}$ であり、$c$-ウィルフ同値性が導かれる。
• 図23の非退化表 $Q$ に対して、$Q$-交互充填の数は $\mathrm{full}_n^Q = \frac{1}{2n+1}\binom{3n}{n}$ に等しく、特定の半順序集合の線形拡張の再帰的列挙により導出された。
• 図23の表 $P$ に対して、その関連する半順序集合構造を広範に分析したが、$\mathrm{full}_n^P$ の閉形式式はまだ得られていない。
• グラフ $G_{P,n}$ から得られる半順序集合 $\mathcal{W}_{P,n}$ は、$P$-交互充填を数える線形拡張と1対1対応する。これにより、半順序集合理論を用いた列挙が可能になる。