[論文レビュー] Patterns of Negative Shifts and Beta-Shifts

Sergi Elizalde, Katherine Moore|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2015

Cellular Automata and Applications参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、動的システムにおける置換パターンの研究を、負のβシフトへと拡張し、与えられた置換πが負のβシフト写像によって実現される最小のβ > 1を計算するための組合せ的枠組みを導入する。負のシフト複雑度B̄(π)の公式は、特定の多項式P̄π(β)の最大実根として与えられ、これは正のβシフトおよび整数の負のシフトに関する先行研究を、実数の負のβの場合へ一般化するものである。

ABSTRACT

The $β$-shift is the transformation from the unit interval to itself that maps $x$ to the fractional part of $βx$. Permutations realized by the relative order of the elements in the orbits of these maps have been studied for positive integer values of $β$ and for real values $β>1$. In both cases, a combinatorial description of the smallest positive value of $β$ needed to realize a permutation is provided. In this paper we extend these results to the case of negative $β$, both in the integer and in the real case. Negative $β$-shifts are related to digital expansions with negative real bases, studied by Ito and Sadahiro, and Liao and Steiner.

研究の動機と目的

• 負のβシフトにおける置換パターンの理論を、負の実数基底β > 1の状況へ拡張すること。
• 与えられた置換πが負のβシフト写像T₋βによって実現される最小のβ > 1を特定すること。
• 整数の負のシフトおよび正のβシフトに関する先行結果を、負のβの実数全般の状況へ一般化すること。
• 負のβシフトの許容可能なパターンの集合を特徴付け、そのシフト複雑度を計算すること。
• 実数の負のβ展開と、軌道順序による置換の実現との間の関係を確立すること。

提案手法

• T₋β(x) = 1 - {βx} により定義される負のβシフト写像T₋β: (0,1] → (0,1] を導入し、標準的なβシフトをβ > 1の負の基底へ一般化する。
• 実数を基底-βで表すために、負のβ展開系における許容可能な語の概念を用いる。
• 与えられた置換πに対して、軌道順序によりπを誘導する、許容集合W₋βに属する語wを構成する。
• πがT₋βによって実現される最小のβ ≥ 1が、多項式P̄π(β)の最大実根として得られるようにする。
• 交互順序および無限語の理論を用いて、臨界値β = B̄(π)をf_w[ℓ,∞)(x) = 1の最大実解として特定する。
• B̄(π) = 1 であるのは、語wの末尾が標準語の交互順序よりも辞書式に小さい場合に限り、そのときが成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた置換πが負のβシフト写像T₋βによって実現される最小のβ > 1は何か？
• RQ2 負のβシフトの許容可能なパターンの集合を、組合せ的にどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 実数の負のβ展開と、軌道順序による置換の実現との間にどのような関係があるか？
• RQ4 任意の置換πに対して、シフト複雑度B̄(π)をアルゴリズム的に計算できるか？
• RQ5 多項式P̄π(β)の構造は、置換πの形状や構造とどのように関係しているか？

主な発見

• 置換πの負のシフト複雑度B̄(π)は、置換の構造から明示的に構成される多項式P̄π(β)の最大実根に等しい。
• 長さ4の置換では、B̄(π)は1から約2.247の範囲をとり、β³ - 2β² + β - 1のような多項式の根に密接に関連している。
• 長さ5の置換では、B̄(π)は1から約3.243の範囲をとり、2.7693のような値は、多項式β³ - 3β² + β - 1の最大実根に対応する。
• P̄π(β)に対してβ ≥ 1の実根が存在しない場合、B̄(π) = 1であり、これは関連語の末尾が標準語の交互順序よりも辞書式に小さい場合に限り成立する。
• πを誘導する語wの構成により、B̄(π)はπ ∈ Allow(T₋β)を満たす最小のβ > 1であることが保証され、この値はP̄π(β)の根の探索により計算可能である。
• 本手法は、正のβシフトおよび整数の負のシフトに関する先行結果を一般化し、実数の負のβ > 1の全範囲にわたる統一的な枠組みを提供する。