[論文レビュー] Patterson--Sullivan distributions for rank one symmetric spaces of the noncompact type

Joachim Hilgert, Michael Schröder|ArXiv.org|Sep 11, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、双曲的表面に限られていたWigner分布とPatterson–Sullivan分布の漸近的等価性を、非コン pact型のランク1対称空間へ一般化する。非ユークリッド擬微分作用素計算と停留化法を用いて、固有値が大きくなる極限において、非対角Wigner分布と正規化された非対角Patterson–Sullivan分布が漸近的に等価であることを確立し、誤差項が$O(1/\rho)$のオーダーであることを示す。これにより、量子遍歴性と対称空間上の境界分布との間に関連が得られる。

ABSTRACT

There is a remarkable relation between two kinds of phase space distributions associated to eigenfunctions of the Laplacian of a compact hyperbolic manifold: It was observed in \cite{AZ} that for compact hyperbolic surfaces $X_Γ=Γ\backslash\mathbb{H}$ Wigner distributions $\int_{S^* X_Γ} a dW_{ir_j} = < \mathrm{Op}(a)ϕ_{ir_j},ϕ_{ir_j} >_{L^2(X_Γ)}$ and Patterson--Sullivan distributions $PS_{ir_j}$ are asymptotically equivalent as $r_j o\infty$. We generalize the definitions of these distributions to all rank one symmetric spaces of noncompact type and introduce off-diagonal elements $PS_{λ_j,λ_k}$. Further, we give explicit relations between off-diagonal Patterson--Sullivan distributions and off-diagonal Wigner distributions and describe the asymptotic relation between these distributions.

研究の動機と目的

• コンパクトな双曲的表面でのみ知られていたWigner分布とPatterson–Sullivan分布の漸近的等価性を、非コンパクト型のランク1対称空間全般へ拡張すること。
• 異なるスペクトルパラメータを持つ固有関数に対して、非対角Patterson–Sullivan分布$PS_{\rho_j,\rho_k}$を定義し、それらを研究すること。
• 高エネルギー極限における非対角Wigner分布と非対角Patterson–Sullivan分布の明確な漸近的関係を確立すること。
• 停留化法と$G$-不変擬微分作用素計算を用いて、対称空間上のスペクトル分布の明示的漸近展開を導出すること。
• Patterson–Sullivan理論を介して、対称空間上での量子遍歴性と境界不変測度との間の枠組みを提供すること。

提案手法

• $G$が有限中心を持つ半単純リー群で、$K$が最大コンパクト部分群であるとき、対称空間$X = G/K$上で$G$-不変の非ユークリッド擬微分作用素の計算を採用する。
• Helgasonの境界値を定義し、Iwasawa分解$G = KAN$を用いて測地的境界$B = K/M$をパラメトライズする。
• $X_{\rho} = \Gamma\backslash X$上のラプラシアンの固有関数に関連する分布的核として、非対角Patterson–Sullivan分布$PS_{\rho_j,\rho_k}$を構成する。
• 停留化法（MSP）を、スペクトル射影$L_{\rho_k}(\chi a)$の積分表現に適用し、$\overline{N}$における単一の非退化臨界点（単位元）を同定する。
• スペクトル射影$L_{\rho_k}(\chi a)(g)$の漸近展開を導出する：$C(2\pi/\rho_k)^{s/2} \sum_{n=0}^N \rho_k^{-n} R_{2n}(\chi a)(g) + O(\rho_k^{-N-1+2K})$、ここで$s = \dim(N)$。
• 主項作用素$L_{\rho_k}^{(N)}$の形式的逆$M_{\rho_k}^{(N)}$を用いて、$\langle \mathrm{Op}(a)\varphi_{\rho_j}, \varphi_{\rho_k} \rangle$と$\langle a, \widehat{PS}_{\rho_j,\rho_k} \rangle$との関係を$O(1/\rho_k)$の誤差まで確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Wigner分布とPatterson–Sullivan分布の漸近的等価性は、双曲的表面を越えて、非コンパクト型ランク1対称空間の広いクラスに対しても成立するか？
• RQ2 異なるスペクトルパラメータ$\rho_j, \rho_k$を持つ固有関数に対して、非対角Patterson–Sullivan分布はどのように定義され、特徴づけられるか？
• RQ3 非対角Wigner分布$\langle \mathrm{Op}(a)\varphi_{\rho_j}, \varphi_{\rho_k} \rangle$と正規化された非対角Patterson–Sullivan分布$\widehat{PS}_{\rho_j,\rho_k}$との間の正確な漸近的関係は何か？
• RQ4 停留化法は、対称空間上での非ユークリッド擬微分作用素に適応可能か？ これによりスペクトル漸近展開が得られるか？
• RQ5 Patterson–Sullivan分布は、対称空間の文脈において、Wigner分布と同程度の量子遍歴性の情報を捉えられるか？

主な発見

• 非対角Wigner分布$\langle \mathrm{Op}(a)\varphi_{\rho_j}, \varphi_{\rho_k} \rangle$と正規化された非対角Patterson–Sullivan分布$\widehat{PS}_{\rho_j,\rho_k}$は、$\rho_k \to \infty$の下で漸近的に等価であり、誤差項が$O(1/\rho_k)$のオーダーである。
• 停留化法を用いて、スペクトル射影$L_{\rho_k}(\chi a)$の主項漸近展開が得られ、$C(2\pi/\rho_k)^{s/2} \sum_{n=0}^N \rho_k^{-n} R_{2n}(\chi a) + O(\rho_k^{-N-1+2K})$（$s = \dim(N)$）となる。
• 正規化係数$\langle 1, PS_{\rho_k,\rho_k} \rangle$は$C(2\pi/\rho_k)^{s/2} \cdot \langle 1, PS_{\rho_k,\rho_k} \rangle = 1 + O(1/\rho_k)$を満たし、$\widehat{PS}_{\rho_j,\rho_k}$の正規化の一貫性が保証される。
• 漸近的等価性は$\left(1 + O(1/\rho_k)\right) \cdot \langle a, \widehat{PS}_{\rho_j,\rho_k} \rangle = \langle a, W_{\rho_j,\rho_k} \rangle + O(1/\rho_k)$として表現され、両分布が漸近的に区別不能であることが示される。
• $G$-不変性により、$SX$上の$\Gamma$-不変な記号が、商空間$X_\Gamma = \Gamma\backslash X$上に適切に定義された作用素を誘導する。これにより、自動形式固有関数の研究が可能になる。
• Wigner分布とPatterson–Sullivan分布は一様有界であり、それらの漸近的等価性から、対称空間上での量子遍歴性の問題において、片方の研究がもう片方の代替として用いられることが示唆される。