[論文レビュー] Patterson-Sullivan measures and growth of relatively hyperbolic groups

Wenyuan Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 53被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、非初等的相対的双曲群の成長率が、その真の相対的双曲群商群の成長率によって任意に良く近似可能であることを確立する。ボウチッチ境界上のパターソン＝サリバン測度と、新規の部分シャドウ補題を用いて、群の成長率に近づく成長率を持つ測地的根付き木を構成し、それを小分割けの商群に埋め込むことで、成長率の収束を証明し、クライン群における臨界指数に関する問題を解決する。

ABSTRACT

We prove that for a relatively hyperbolic group G there is a sequence of relatively hyperbolic proper quotients such that their growth rates converge to the growth rate of G. Under natural assumptions, the same conclusion holds for the critical exponent of a cusp-uniform action of G on a hyperbolic metric space. As a corollary, we obtain that the critical exponent of a torsion-free geometrically finite Kleinian group can be arbitrarily approximated by those of quotient groups. This resolves a question of Dal'bo-Peigné-Picaud-Sambusetti. Our approach is based on the study of Patterson-Sullivan measures on Bowditch boundary of a relatively hyperbolic group. The uniqueness and ergodicity of Patterson-Sullivan measures are proved when the group is divergent. We prove a variant of the Sullivan Shadow Lemma, called Partial Shadow Lemma. This tool allows us to prove several results on growth functions of balls and cones. One central result is the existence of a sequence of geodesic trees with growth rates sufficiently close to the growth rate of G, and transition points uniformly spaced in trees. By taking small cancellation over hyperbolic elements of high powers, we can embed these trees into properly constructed quotients of G. This proves the results in the previous paragraph.

研究の動機と目的

• ダルボ＝ペイニエ＝パイコ・サムブセッティが提起した問題、すなわち、ねじれのない幾何的に有限なクライン群の臨界指数が、その真の商群の臨界指数によって近似可能かどうかを解明すること。
• 相対的双曲群の成長率が、その真の相対的双曲群商群の成長率の極限として得られることを確立すること。
• 相対的双曲的設定における円錐および球の成長を分析するための新規な道具「部分シャドウ補題」を構築すること。
• 発散型の相対的双曲群に対して、ボウチッチ境界上でのパターソン＝サリバン測度の一意性とエルゴード性を証明すること。
• 群の成長率に任意に近い成長率と一様に配置された遷移点を持つ測地的根付き木を構成し、小分割けの商群に埋め込むこと。

提案手法

• 著者たちは、相対的双曲群のボウチッチ境界上のパターソン＝サリバン測度を分析し、発散型の仮定の下でその一意性とエルゴード性を証明する。
• 彼らは、群内の円錐および部分円錐の成長を制御するための古典的サリバン・シャドウ補題の変種である「部分シャドウ補題」を導入する。
• 部分シャドウ補題を用いて、群の成長率に収束する成長率と一様に配置された遷移点を持つ測地的根付き木を構成する。
• これらの木は、$ h $ を双曲的要素とするとき、$ G / \big\rrangle h^n \big\rrangle $ のような小分割けの商群に埋め込まれる。
• この構成は、遷移点の幾何的制御と群内での準測地線追跡を用いて、部分円錐型の有限性を確立することに依存する。
• この手法は、境界上の準等角的密度と視覚的距離を用いて、測度論的性質と成長関数を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的双曲群の成長率は、その真の商群の成長率によって近似可能か？
• RQ2 双曲的距離空間上でのくぼみ型作用における臨界指数は、その真の商群の臨界指数によって近似可能か？
• RQ3 発散型の相対的双曲群のボウチッチ境界上でのパターソン＝サリバン測度は一意的かつエルゴード的か？
• RQ4 成長率が群の成長率に任意に近い、一様に配置された遷移点を持つ測地的根付き木を構成可能か？
• RQ5 このような木は、成長率近似を実現するために小分割けの商群に埋め込めるか？

主な発見

• 相対的双曲群 $ G $ の真の相対的双曲群商群 $ \bar{G}_n $ の列が存在し、$ \boxed{\lim_{n \to \infty} \delta_{\bar{G}_n} = \delta_G} $ が成り立つ。
• ねじれのない幾何的に有限なクライン群の臨界指数は、その真の商群の臨界指数によって任意に近似可能である。
• 発散型の相対的双曲群のボウチッチ境界上でのパターソン＝サリバン測度は一意的かつエルゴード的である。
• 部分シャドウ補題は、円錐および部分円錐の成長を正確に制御でき、高成長木の構成を容易にする。
• $ (\epsilon,R) $-円錐について、十分に大きな $ R $ に対して部分円錐型の有限性が確立され、高々 $ N = N(\epsilon,R) $ 種類である。
• 成長率が $ \delta_G $ に任意に近い、一様に配置された遷移点を持つ測地的根付き木を構成し、小分割けの商群に埋め込むことができる。