[論文レビュー] Pauli topological subsystem codes from Abelian anyon theories

Tyler D. Ellison, Yu-An Chen+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の2次元アーベル任意子理論（縮退した braiding や真空中にギャップを持つ境界を持たないものも含む）から、トポロジカルな安定化子コードから特定の任意子型をゲージ化することで、パウリトポロジカル部分系コードを構築する。主な貢献は、すべてのアーベル任意子理論がトーリックコードと一般化されたねじれ量子双対（TQD）のスタックの部分理論であることを証明し、パウリトポロジカル部分系コードの分類をキュービットベースの安定化子コードから複合次元のクーディットへ拡張することにある。

ABSTRACT

We construct Pauli topological subsystem codes characterized by arbitrary two-dimensional Abelian anyon theories--this includes anyon theories with degenerate braiding relations and those without a gapped boundary to the vacuum. Our work both extends the classification of two-dimensional Pauli topological subsystem codes to systems of composite-dimensional qudits and establishes that the classification is at least as rich as that of Abelian anyon theories. We exemplify the construction with topological subsystem codes defined on four-dimensional qudits based on the $\mathbb{Z}_4^{(1)}$ anyon theory with degenerate braiding relations and the chiral semion theory--both of which cannot be captured by topological stabilizer codes. The construction proceeds by "gauging out" certain anyon types of a topological stabilizer code. This amounts to defining a gauge group generated by the stabilizer group of the topological stabilizer code and a set of anyonic string operators for the anyon types that are gauged out. The resulting topological subsystem code is characterized by an anyon theory containing a proper subset of the anyons of the topological stabilizer code. We thereby show that every Abelian anyon theory is a subtheory of a stack of toric codes and a certain family of twisted quantum doubles that generalize the double semion anyon theory. We further prove a number of general statements about the logical operators of translation invariant topological subsystem codes and define their associated anyon theories in terms of higher-form symmetries.

研究の動機と目的

• 2次元パウリトポロジカル部分系コードの分類をキュービットベースの安定化子コードから、複合次元クーディットへ拡張すること。
• 縮退したbraiding関係を持つか、真空中にギャップを持つ境界を持たないいかなるアーベル任意子理論に対しても、それが部分系コードとして実現可能であることを示すこと。
• トポロジカル安定化子コードから特定の任意子型をゲージ化することで、体系的な構成法を確立すること。
• 高次対称性を用いて、並進不変な部分系コードの論理演算子および任意子理論を特徴付けること。
• 標準的なトポロジカル安定化子コードでは捉えきれない任意子理論（例：$\mathbb{Z}_4^{(1)}$ やキラルセミオン理論）が、得られるコードによって実現可能であることを示すこと。

提案手法

• 構成法は、トポロジカル安定化子コードから特定の任意子型をゲージ化することで行われる。これは、ゲージ化対象の任意子に対応するストリング演算子を安定化子群に追加することで定義される。
• 得られる部分系コードは、元の安定化子コードの任意子理論の真の部分理論である任意子理論を持つ。
• この方法は、ねじれ量子双対（TQD）の構造を活用し、任意のアーベル任意子理論がトーリックコードと一般化TQDのスタックの部分理論として実現可能であることを保証する。
• 部分系コードの任意子理論は、親安定化子コードの任意子理論のラグランジュ部分群から導かれる。これによりトポロジカルオーダーと論理キュービットの保護が保証される。
• 高次対称性を用いて、並進不変な部分系コードにおける論理演算子を定義・分類する。
• 本手法は、$\mathbb{Z}_4^{(1)}$ やキラルセミオン任意子理論といった、トポロジカル安定化子コードでは実現不可能な具体例へも適用可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての2次元アーベル任意子理論（縮退したbraiding関係を持つものも含む）に対して、パウリトポロジカル部分系コードを構築可能か？
• RQ2 このようなコードは、キュービットベースの安定化子コードを超えて、複合次元クーディット上でも実現可能か？
• RQ3 真空中にギャップを持つ境界を持たない任意子理論に対しても、部分系コードを構築可能か？
• RQ4 安定化子コードから特定の任意子型をゲージ化することで、任意子理論が縮小された新しい部分系コードがどのように得られるか？
• RQ5 高次対称性は、並進不変なトポロジカル部分系コードの論理演算子を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、すべてのアーベル任意子理論が、トーリックコードと一般化されたねじれ量子双対（TQD）のスタックの部分理論であることを証明し、パウリトポロジカル部分系コードの分類を複合次元クーディットへ拡張した。
• 縮退したbraiding関係を持つ$\mathbb{Z}_4^{(1)}$任意子理論が、トポロジカル安定化子コードでは捉えきれないが、トポロジカル部分系コードとして実現可能であることが示された。
• キラルセミオン任意子理論も部分系コードとして実現可能であり、このように非可換的（可換的意味で）な性質を持つ任意子理論が、部分系コードによってもアクセス可能であることを示した。
• 得られる部分系コードの任意子理論は、親安定化子コードの任意子理論のラグランジュ部分群から導かれる。これによりトポロジカルオーダーと論理的保護が保証される。
• 特定の任意子型をゲージ化する構成法により、トポロジカルオーダーを維持したまま任意子内容を所望の部分理論へ削減する一貫したフレームワークが得られた。
• 並進不変な部分系コードの論理演算子は、高次対称性を用いて完全に特徴付けられ、論理操作を分類する一般枠組みが提供された。