[論文レビュー] Paving Rectangular Regions with Rectangular Tiles: Tatami and Non-Tatami Tilings

Richard J. Mathar|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2013

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$1\times2$、$1\times3$、$1\times4$、$2\times3$のタイルを用いた長方形の床のタイリングについて、包括的な計算的考察を提示する。タイリングは、4枚のタイルが1点に集まる「4-タイル集まり点」の数（Tatami制約に違反する点）および対称性に起因しない配置に応じて分類される。幅 $m=9$ までに、完全なタイリングおよび非合同なタイリングの正確な数と母関数が、再帰的列挙と対称性削減を用いて計算され、スライド線を考慮したタイリングのための予想される母関数も提示されている。

ABSTRACT

The number of complete tilings of m X n floors for tiles of shape 1 X 2, 1 X 3, 1 X 4 and 2 X 3 is computed numerically for floors up to width m=9 and variable floor lengths n. Counts are obtained for two classes, for fixed tile stack orientation on one hand and for counts up to rotations and reflections on the other hand. Counts are refined by the number of points on the floor where 4 tiles meet, i.e., by the degree of violation of the requirement for Tatami tilings.

研究の動機と目的

• 固定された長方形タイル（$1\times2$、$1\times3$、$1\times4$、$2\times3$）を用いて、$m\times n$ の長方形床の完全なタイリングを体系的に列挙すること。
• 4枚のタイルが1点に集まる点の数に基づいてタイリングを分類し、Tatami条件（4枚のタイルが1点に集まることがない）からの逸脱度を定量化すること。
• 回転および反転対称性による重複を減らすために、完全なカウントと非合同なタイリング（対称性に起因しない配置）の両方のカウントを計算すること。
• 水平線がどのタイルとも交差しない「スライド線」の数に基づいてタイリングを精緻化し、タイリングの構造的分類を提供すること。

提案手法

• タイルを1枚ずつ配置しながら、重複なしで完全に被覆する有効なタイリングを再帰的バックトラッキングアルゴリズムで列挙する。
• 回転・反転による合同なタイリング配置のうち、辞書式に最小の代表を特定・カウントするための2進数列変換を用い、非合同なタイリングの計算を可能にする。
• 各タイリングクラス $t$ に対して、$T_t(n,m)$ および $\bar{T}_t(n,m)$ のテーブルにおける列和に基づき、母関数 $T_t(z,m)$ と $\bar{T}_t(z,m)$ を計算する。
• 列挙の前に、有効な床-タイル組み合わせのみを絞り込むために、$nm \equiv 0 \mod(t_n t_m)$ のマッチング条件を適用する。
• 計算されたデータから観察されたパターンに基づき、スライド線を精緻化したタイリングのための閉形式母関数（例：$\hat{\bar{T}}_1(z,3)$）を予想する。
• 自動テストスイートを用いた検証を含む、C++プログラムによる実装。全探索と対称性の剪定を実行。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $m\times n$ の長方形を $1\times2$ タイルのみでタイリングする場合、完全な配置と対称性に起因しない配置の両方で、何通りの異なる方法があるか？
• RQ2 4枚のタイルが1点に集まる点の数に応じたタイリングの分布はどのようなものか？ これはTatamiタイリング制約からの逸脱度をどのように定量化するか？
• RQ3 水平線がどのタイルとも交差しない「スライド線」の数が特定の値である制限を課した場合、タイリングのカウントはどのように変化するか？
• RQ4 固定された $m$ に対して $n$ を変化させたときのタイリングカウントの系列を記述する母関数は何か？ 特にTatamiおよび非Tatamiタイリングについて。
• RQ5 特定のスライド線数を持つ対称性削減済みタイリングカウントのための閉形式母関数を予想することは可能か？

主な発見

• $3\times n$ ドミノタイリングにおいて、1つのスライド線を持つ非合同なタイリングの数は、計算されたデータから導かれた予想される母関数 $\hat{\bar{T}}_1(z,3) = z^2(1 - 2z^2)/[(1 - z^2)(1 - 3z^2 + z^4)(1 - z^2 - z^4)]$ で与えられる。
• $3\times n$ のTatamiタイリング（4枚のタイルが1点に集まる点が存在しない）の数は、複数の有理関数項を含む複雑な有理母関数で与えられ、定理41に示されている。
• $3\times n$ ドミノタイリングにおいて、$n=12$ における非合同なタイリングの総数は $\bar{T}(12,3) = 145601$ であり、スライド線および4-タイル集まり点の配置ごとの和として計算された。
• スライド線が存在しない $4\times n$ ドミノタイリングの数は $\hat{\bar{T}}_0(12,4) = 14520$ であり、全数 $\bar{T}(12,4) = 37794$ と対称性削減データから導かれた。
• 本稿では、$m \leq 9$ および増加する $n$ に対して、$T_t(n,m)$ および $\bar{T}_t(n,m)$ の正確なテーブルを提供しており、$T_0(n,m)$ はTatamiタイリングに対応する。
• ソースコードは公開されており、タイリング配置の2進数表現の辞書式最小化による対称性削減を伴う再帰的タイリング列挙を実装している。