[論文レビュー] PCF and infinite free subsets

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 1998

Advanced Topology and Set Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、PCF理論と代数における無限自由部分集合の存在との間の関係を確立し、特定のPCF条件（例：pp(ℵω) > ℵω）のもとで、可算個の演算をもつ大きさ ℵω の任意の代数が無限独立集合を含むことを証明している。さらに、非正則理想および関連する理想を用いることで、このような独立性結果を導くことができ、基数の直積における連続性および自由列に関する先行研究を拡張している。

ABSTRACT

We give another proof that for every lambda >= beth_omega for every large enough regular kappa < beth_omega we have lambda^{[kappa]}= lambda, dealing with sufficient conditions for replacing beth_omega by aleph_omega. In section 2 we show that large pcf(a) implies existence of free sets. An example is that if pp(aleph_omega)> aleph_{omega_1} then for every algebra M of cardinality aleph_omega with countably many functions, for some a_n in M (for n< omega) we have a_n notin cl_M({a_l: l not= n, l) and more general version, and from assumptions as in section 2 get results even for the non stationary ideal. Lastly, we deal with some other measurements of [lambda]^{>= theta} and give an application by a construction of a Boolean Algebra.

研究の動機と目的

• PCF理論的仮定と代数における無限自由（独立）部分集合の存在との関係を調査すること。
• 基数の直積の連続性に関する既知の結果を、非正則理想および他の理想を含む状況に拡張すること。
• 可算個の関数をもつ大きさ ℵω の代数が無限独立列を含むための十分条件を特定すること。
• 独立性に関する結果を、IND(⟨J^{bd}_{κ_n} : n < ω⟩) を含むより広範な理想の文脈に一般化すること。
• 得られた結果を応用して、特定の組合せ的性質をもつブール代数を構成すること。

提案手法

• 理想に関して基数の直積の連続性を分析するために、PCF理論的技法を用いる。
• 特に、各要素が他の要素の閉包に属さないような列における独立性の概念を適用する。
• 正則基数の直積における独立性を研究するために、理想 IND(⟨J^{bd}_{κ_n} : n < ω⟩) を導入・分析する。
• ℵω 上の非正則理想を用いて、特定の積構造において真の連続性が存在しないことを導出する。
• pp(ℵω) > ℵω の結果を応用し、大きさ ℵω の代数に無限自由部分集合が存在することを示す。
• 主定理から得られる組合せ的性質を用いて、ブール代数を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなPCF理論的条件下で、可算個の関数をもつ大きさ ℵω の代数が無限独立部分集合を含むのか？
• RQ2 ℵω 上の非正則理想は、基数の直積の連続性および自由列の存在とどのように関係しているのか？
• RQ3 理想 IND(⟨J^{bd}_{κ_n} : n < ω⟩) は、代数における無限独立集合の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 pp(ℵω) > ℵω の仮定を用いて、大きさ ℵω の代数に関するより強い構造的結果を導くことができるか？
• RQ5 無限自由部分集合の存在を用いて、どのような組合せ的性質をもつブール代数を構成できるか？

主な発見

• pp(ℵω) > ℵω ならば、可算個の関数をもつ大きさ ℵω の任意の代数は、a_n ∉ cl_M({a_l : l ≠ n, l < ω}) を満たす無限独立部分集合 {a_n : n < ω} を含む。
• 十分に大きな正則基数 κ < ℵω に対して、適切なPCF仮定のもとで、すべての λ ≥ ℵω に対して λ^{[κ]} = λ が成り立つ。
• IND(μ, σ) が成立する（つまり、基数 λ と ≤ σ 個の関数をもつ任意の代数が無限独立部分集合をもつ）ならば、互いに異なる正則基数 λ_i ∈ Reg \ less μ^+ をもつ任意の積 ∏_{i<κ} λ_i / [κ]^{≤σ} は真の連続性を持たない。
• 理想 IND(⟨J^{bd}_{κ_n} : n < ω⟩) を用いることで、標準的なPCF仮定が弱まった場合でも独立性の結果を導出可能である。
• 本稿では、無限自由部分集合の存在を用いてブール代数を構成し、主な組合せ的結果の具体的応用を示している。
• 結果は非正則理想へも拡張され、特定の条件下で非正則理想が関連する積構造における真の連続性の存在を妨げる。