[論文レビュー] PDEs satisfied by extreme eigenvalues distributions of GUE and LUE

Estelle Basor, Yang Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限な $ n $ のガウスユニタリアンブレッド（GUE）およびラゲルルユニタリアンブレッド（LUE）のすべての固有値が区間 $ (a,b) $ 内にある確率の対数微分を記述する非線形偏微分方程式（PDE）を導出する。直交多項式のラダー作用素形式を用いて、これらのPDEがそれぞれPainlevé IVおよびPainlevé V系を一般化することを示す。主な結果は、適切な中心化とスケーリングの後、GUEおよびLUEにおける極値固有値の漸近的独立性の解析的証明であり、Tracy-Widom分布が解である極限PDE解析によって裏付けられる。

ABSTRACT

In this paper we study, $ extsf{Prob}(n,a,b),$ the probability that all the eigenvalues of finite $n$ unitary ensembles lie in the interval $(a,b)$. This is identical to the probability that the largest eigenvalue is less than $b$ and the smallest eigenvalue is greater than $a$. It is shown that a quantity allied to $ extsf{Prob}(n,a,b)$, namely, $$ H_n(a,b):=\left[\frac{\partial}{\partial a}+\frac{\partial}{\partial b} ight]\ln extsf{Prob}(n,a,b),$$ in the Gaussian Unitary Ensemble (GUE) and $$ H_n(a,b):=\left[a\frac{\partial}{\partial a}+b\frac{\partial}{\partial b} ight]\ln extsf{Prob}(n,a,b),$$ in the Laguerre Unitary Ensemble (LUE) satisfy certain nonlinear partial differential equations for fixed $n$, interpreting $H_n(a,b)$ as a function of $a$ and $b$. These partial differential equations maybe considered as two variable generalizations of a Painlevé IV and a Painlevé V system, respectively. As an application of our result, we give an analytic proof that the extreme eigenvalues of the GUE and the LUE, when suitably centered and scaled, are asymptotically independent.

研究の動機と目的

• 有限な $ n $ のユニタリーエンsembleのすべての固有値が与えられた区間 $ (a,b) $ 内にある確率を記述する偏微分方程式を導出すること。
• この確率の対数微分が、GUEではPainlevé IV系、LUEではPainlevé V系を一般化する非線形PDEを満たすことを確立すること。
• 適切な中心化とスケーリングの後、GUEおよびLUEにおける最大固有値と最小固有値の漸近的独立性を解析的に証明すること。
• スペクトルのソフトエッジ付近でのこれらのPDEのスケーリング極限を分析し、得られる解がTracy-Widom分布の和として特定されることを示すこと。

提案手法

• 直交多項式のラダー作用素形式および関連する整合性条件を用いて、補助変数の非線形差分方程式を導出する。
• GUEに対しては $ H_n(a,b) = \left[\frac{\partial}{\partial a} + \frac{\partial}{\partial b}\right]\ln\text{Prob}(n,a,b) $、LUEに対しては $ H_n(a,b) = \left[a\frac{\partial}{\partial a} + b\frac{\partial}{\partial b}\right]\ln\text{Prob}(n,a,b) $ を主要関数として定義する。
• 再帰関係および整合性関係を用いて、GUEおよびLUE両ケースにおける $ H_n(a,b) $ の2階非線形PDEを導出する。
• スペクトルのソフトエッジ付近での漸近的スケーリングを適用：$ a = Ln + cL^{2/3}n^{1/3}x $、$ b = Rn + cR^{2/3}n^{1/3}y $、ここで $ L, R $ は $ \beta $ を用いて定義される。
• スケーリング関数 $ \widetilde{H}(x,y,n) = \frac{1}{n^{2/3}}H_n(\cdot,\cdot) $ を導入し、$ n \to \infty $ の極限でPDEの極限形を抽出する。
• 因数分解アンザッツ $ \widetilde{H}(x,y) = f(x) + g(y) $ を用い、$ f $ と $ g $ がTracy-Widom左尾と右尾に対応するPainlevé II方程式の $ \sigma $-形を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GUEおよびLUEにおける極値固有値分布は、適切な中心化とスケーリングの後、漸近的に独立するか？
• RQ2 有限な $ n $ に対して、すべての固有値が $ (a,b) $ 内にある確率が、$ a $ および $ b $ に関する非線形PDEで記述可能か？
• RQ3 固有値区間確率の対数微分が満たす2変数一般化Painlevé方程式は何か？
• RQ4 これらのPDEのスペクトルのソフトエッジ付近での極限挙動は、既知のTracy-Widom分布とどのように関係するか？
• RQ5 PDEのスケーリング極限を用いて、極値固有値の漸近的独立性を解析的に確立できるか？

主な発見

• GUEにおける関数 $ H_n(a,b) $ は、Painlevé IV $ \sigma $-形を一般化する非線形PDEを満たし、エッジ極限では $ P_{IV} $ 方程式に還元される。
• LUEにおいては、$ H_n(a,b) $ がPainlevé V $ \sigma $-形を一般化するPDEを満たし、エッジ極限では $ P_{V} $ 方程式に還元される。
• ソフトエッジ付近でのスケーリング極限後のPDEは、因数分解解 $ \widetilde{H}(x,y) = f(x) + g(y) $ を持つ。ここで $ f $ と $ g $ は、それぞれTracy-Widom左尾と右尾に対応するPainlevé II方程式の $ \sigma $-形を満たす。
• 関数 $ f(x) $ と $ g(y) $ は、それぞれTracy-Widom左尾分布および右尾分布に対応し、極限における同時密度が独立なTracy-Widom分布の積であることが確認される。
• GUEおよびLUEにおける極値固有値の漸近的独立性は、PDEのスケーリング極限および因数分解解構造を用いて解析的に証明される。
• 導出されたPDEは有限 $ n $ に対して正確であり、そのスケーリング極限は、確率的行列理論における既知の普遍的分布と明示的な関係を示す。