[論文レビュー] Peak Estimation and Recovery with Occupation Measures

Jared Miller, Didier Henrion+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2020

Advanced Control Systems Optimization参考文献 20被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、動的システムにおけるピーク推定を解くために、占有測度を用いた凸最適化フレームワークを提案する。これにより最適解への収束が保証され、ランク不足のモーメント行列を用いて近似的最適軌道の回復が可能となる。さらに、安全性解析のためのマキシミン目的関数へと拡張され、軌道の安全性を証明する負の安全マージンを提供する。収束はモーメント-SOS階層によって保証され、数値例による検証も行われる。

ABSTRACT

Peak Estimation aims to find the maximum value of a state function achieved by a dynamical system. This problem is non-convex when considering standard Barrier and Density methods for invariant sets, and has been treated heuristically by using auxiliary functions. A convex formulation based on occupation measures is proposed in this paper to solve peak estimation. This method is dual to the auxiliary function approach. Our method will converge to the optimal solution and can recover trajectories even from approximate solutions. This framework is extended to safety analysis by maximizing the minimum of a set of costs along trajectories.

研究の動機と目的

• 非線形力学的システムにおけるピーク推定のための凸的かつ収束性を有する手法の開発。
• ランク不足のモーメント行列を用いて、近似的解から近似的最適軌道を回復可能とする手法の実現。
• ピーク推定を、ロバストな安全性解析のための複数のコスト関数の最小値を最大化するマキシミン目的関数へと拡張すること。
• マキシミン計画における負の最適値を安全マージンとして提供し、軌道の安全性を証明すること。

提案手法

• ピーク推定問題を、占有測度上の無限次元線形計画問題（LP）として定式化する。
• 無限次元LPを、精度を段階的に向上させる有限次元の半定値計画問題（SDP）に緩和するために、モーメント-SOS階層を用いる。
• モーメント行列における近似的1ランク構造に基づく回復アルゴリズムを適用し、近似的最適軌道を抽出する。
• 複数のコスト関数の最小値を有界化するためのスラック変数と双対変数を導入することで、フレームワークをマキシミン目的関数へと拡張する。
• マキシミン定式化の双対問題を導出し、安全性を証明するバリア関数に相当する関数を生成する。
• 次数を段階的に高めるLMI緩和を用いて、真の最適値に収束する単調に減少する上界の列を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 占有測度は、非線形常微分方程式におけるピーク推定のための凸的かつ収束性を有する定式化を提供できるか？
• RQ2 占有測度フレームワークにおいて、近似的解から近似的最適軌道をどのように回復できるか？
• RQ3 ピーク推定問題は、複数のコスト関数の最小値を最大化する目的関数へと拡張可能か、ロバストな安全性解析に適しているか？
• RQ4 マキシミン緩和における負の最適値が、軌道の安全性を証明する証明書として機能できるか？
• RQ5 モーメント行列のランク不足は、軌道回復において果たす役割は何か？

主な発見

• 提案手法は、LMI緩和の階層を介して真のピーク値 P∗ に収束し、次数 d が増加するにつれて上界 p∗d が単調に減少する。
• d=3 の場合、非-autonomous系 (23) におけるマキシミン目的関数 min(x1,x2) の上界は 0.3891 に達し、最適な β=[0.647,0.353] によりコスト性能がバランスしていることが示された。
• モーメント行列 M1(y) の2番目に大きな固有値は 2.943×10−6 であり、アルゴリズム1による軌道回復に適した近似的1ランク構造を示している。
• θ=5π/4 の安全性例では、安全マージン p∗5=−0.1417<0 が、すべての軌道が不安全領域の外側に保たれていることを証明した。
• 不安全な状況（θ=3π/4）では、p∗5=0.1935>0 であり、少なくとも1本の軌道が不安全領域に進入していることが示され、視覚的検証とも整合的であった。
• 回復アルゴリズムは、マキシミン問題に対して近似的最適軌道を成功裏に抽出した。x∗p=[0.493,0.029] は t∗p=2.19 で得られ、最小コスト 0.3891 を達成した。