[論文レビュー] Pearson's correlation coefficient in the theory of networks: A comment

Zafar Ahmed, Sachin Kumar|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2018

Complex Network Analysis Techniques参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ネットワーク理論における非標準的なピアソン相関係数の定式化について批判し、参考文献[3]で広く使われている形式が、次数-次数相関を測定する際に数学的に整合性がないことを示している。標準的な式（式3）は完璧な線形関係に対して正確に r = 1 を得るが、代替形式（式4）は k_i = 2j_i + 1 の場合に r = 13/77 という誤った値を出力するなど、非有向ネットワークにおける有効性を損なう。

ABSTRACT

In statistics, the Pearson correlation coefficient $r_{x,y}$ determines the degree of linear correlation between two variables and it is known that $-1 \le r_{x,y} \le 1$. In the theory of networks, a curious expression proposed in [PRL {\bf 89} 208701 (2002)] for degree-degree correlation coefficient $r_{j_i,k_i}, i\in [1,M]$ has been in use. We realize that the suggested form is the conventional Pearson's coefficient for $\{(j_i,k_i), (k_i,j_i)\}$ for $2M$ data points and hence it is rightly dedicated to undirected networks.

研究の動機と目的

• ネットワーク理論における次数-次数相関に用いられるピアソン相関係数の誤った定式化を特定・是正すること。
• 参考文献[3]で広く引用されている式が、完全な従属関係の状況において線形相関を正しく表現しないことを示すこと。
• 標準的な統計的手法を用いて、有向ネットワークと非有向ネットワークの次数相関の定式化の違いを明確にすること。
• 従来のピアソン式と先行文献で使われた非標準形式との間にある顕著な矛盾を解消すること。

提案手法

• 共分散と標準偏差の標準的統計的定義を用いて、従来のピアソン相関係数 r_{x,y} を導出する。
• M本の辺における次数対 (j_i, k_i) に対して、従来の式（式3）を適用する。
• 参考文献[3]の非標準的式（式4）を平均と分散の用語で再表現し、その統計的整合性の欠如を明らかにする。
• 既知の関数的関係（例：k_i = 2j_i + 1、k_i = j_i^2）の下で式(3)と式(4)の挙動を比較し、乖離を露呈する。
• 式(4)を非有向ネットワークにおける2M個のデータ点集合 {(j_i, k_i), (k_i, j_i)} に適用した従来のピアソン係数として再解釈する。
• r > 1 を生じる誤った変種（式6）を特定・是正し、相関係数の基本的範囲を逸脱していることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ参考文献[3]の相関係数は、完璧な線形関係 k_i = 2j_i + 1 の場合に r = 13/77 となるのか、1 にならないのか？
• RQ2 非標準的相関式（式4）は、従来のピアソン相関と数学的にどのように異なるのか？
• RQ3 非有向ネットワークにおける次数-次数相関係数の正しい統計的解釈は何か？
• RQ4 なぜ変種式（式6）は r > 1 を生じるのか、そしてそれが相関係数の理論的範囲 [-1, 1] をどのように違反するのか？
• RQ5 従来のピアソン式（式3）と結合データ定式化（式4）の両方が有効となる条件は何か？

主な発見

• k_i = 2j_i + 1 かつ M = 9 の場合、従来の式（式3）は正確に r = 1 を得るが、非標準形式（式4）は r = 13/77 ≈ 0.169 を出力する。
• k_i = j_i^2 の場合、従来の式（式3）は r = √(1500/1577) ≈ 0.975 を得るが、式(4)は負の値 r = -125/598 ≈ -0.209 を出力し、相関推定が誤っていることを示す。
• 式(6)は式(4)の誤解された変種であり、代数的簡略化により r ≥ 1 を生じさせ、相関係数の理論的範囲 [-1, 1] を逸脱している。
• 非標準的式（式4）は、非有向ネットワークにおける2M個のデータ点集合 {(j_i, k_i), (k_i, j_i)} に適用した従来のピアソン係数と数学的に同等である。
• 非有向ネットワークにおける正しい定式化は、非標準形式（式4）ではなく、従来のピアソン相関（式3）である。式4は誤った結果を導く。
• 本論文は、式(4)が有効な代替形式ではなく、ネットワーク相関解析における統計的原則の誤った適用であることを示し、混乱を解消した。