[論文レビュー] Pebbling and Branching Programs Solving the Tree Evaluation Problem

Dustin Wehr|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、分数パズルと節約的分岐プログラムという制限付き計算モデルを用いて、木評価問題（TEP）のよりタイトな下界を確立することを目的としている。d-分木における分数パズルの下界を厳密に示し、すべてのkおよびhに対して成り立つ、統一的で新たな証明を提供する。これは、制限が徐々に弱まるモデルへと拡張可能である。

ABSTRACT

We study restricted computation models related to the Tree Evaluation Problem}. The TEP was introduced in earlier work as a simple candidate for the (*very*) long term goal of separating L and LogDCFL. The input to the problem is a rooted, balanced binary tree of height h, whose internal nodes are labeled with binary functions on [k] = {1,...,k} (each given simply as a list of k^2 elements of [k]), and whose leaves are labeled with elements of [k]. Each node obtains a value in [k] equal to its binary function applied to the values of its children, and the output is the value of the root. The first restricted computation model, called Fractional Pebbling, is a generalization of the black/white pebbling game on graphs, and arises in a natural way from the search for good upper bounds on the size of nondeterministic branching programs (BPs) solving the TEP - for any fixed h, if the binary tree of height h has fractional pebbling cost at most p, then there are nondeterministic BPs of size O(k^p) solving the height h TEP. We prove a lower bound on the fractional pebbling cost of d-ary trees that is tight to within an additive constant for each fixed d. The second restricted computation model we study is a semantic restriction on (non)deterministic BPs solving the TEP - Thrifty BPs. Deterministic (resp. nondeterministic) thrifty BPs suffice to implement the best known algorithms for the TEP, based on black (resp. fractional) pebbling. In earlier work, for each fixed h a lower bound on the size of deterministic thrifty BPs was proved that is tight for sufficiently large k. We give an alternative proof that achieves the same bound for all k. We show the same bound still holds in a less-restricted model, and also that gradually weaker lower bounds can be obtained for gradually weaker restrictions on the model.

研究の動機と目的

• 制限付きモデルを用いて木評価問題（TEP）を分析することで、LとそのLogDCFLからの分離に関する理解を強化すること。
• 分数パズルと節約的モデルを用いて、TEPを解く非決定的および決定的分岐プログラムのサイズに関するタイトな下界を確立すること。
• 既存の節約的分岐プログラムの下界証明を一般化・統一し、漸近的仮定なしにすべてのkおよびhに対して有効であるようにすること。
• 分岐プログラムに対する制限が徐々に弱まる場合、それに対応して下界がどのように変化するかを調査すること。

提案手法

• ブラック/ホワイトパズルの一般化として分数パズルを導入し、O(k^p)の上界を用いてパズルコストと非決定的分岐プログラムサイズを関連付ける。
• d-分木における分数パズルコストのタイトな下界を証明し、各固定dに対して加法的定数の範囲内で成立する。
• 節約的分岐プログラムを、ブラックおよび分数パズルに基づく最適アルゴリズムを捉える意味的制約として定義する。
• 非決定的節約的分岐プログラムの下界を再証明し、大きなkに限定されず、すべてのkおよびhに対して成立することを示す。
• 節約的集合のサイズが1を超えるノード数を制限するパラメータwを導入し、強力なモデルと弱いモデルの間の補間を可能にする。
• アドバイス文字列技術を用いて学習状態をシミュレートし、その状態数と節約的集合サイズに基づいてサイズ下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d-分木の正確な分数パズルコストは何か？ すべてのdに対してタイトに束縛可能か？
• RQ2 kが非常に大きくない場合でも、節約的分岐プログラムの下界をすべてのkおよびhに対して一様に証明可能か？
• RQ3 分岐プログラムに対する制限が徐々に弱まる場合、それに対応するサイズ下界はどのように変化するか？
• RQ4 w（大規模な節約的集合を持つノード数）が有界なモデルでも、超多項式の下界が得られるか？
• RQ5 TEPに対する決定的分岐プログラムが(k+1)^h未満の状態で実現可能か？ これは予想されている下界に挑戦するか？

主な発見

• d-分木の分数パズルコストに対してタイトな下界が確立され、各固定dに対して上界と加法的定数の差で一致する。
• 非決定的節約的分岐プログラムの下界に対して、kが十分に大きくない場合でも成り立つ代替証明が与えられる。
• より制限の弱いモデルにおいても同じ下界が成立し、制限の厳しい節約的制約を超えて下界の頑健性が示された。
• 節約的集合のサイズが1を超えるノード数を制限するパラメータwを導入し、BT^h(k)を解く決定的BPsに対して下界k^h / π^wを導出。
• w=1かつπ=log k - log log kの場合、下界はΩ(k^h / log k)となり、BT^h(k)の既知の最良上界と一致し、タイトさを示唆する。
• w < h-2かつπ < kの場合、非自明な下界が得られ、節約的BPsがΩ(k^{#FRpebbles(T^h)})状態を必要とするという予想を支持する。