[論文レビュー] Penalising symmetric stable Lévy paths

Kouji Yano, Yuko Yano+1 more|ArXiv.org|Jul 27, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$1 < \alpha \leq 2$ の対称安定 Lévy 过程に対して、一般化された罰則理論を展開し、ブラウン運動の場合（$\alpha = 2$）と類似する極限定理を統一する普遍的な $\sigma$-有限測度 $\mathscr{P}$ を導入する。$\mathscr{P}$ の下でマルティングール生成子 $M_{t,x}(F)$ を構成することで、局所時間および指数的滞在時間に基づく重み関数に対する極限正規化測度を特徴づけ、概収束を証明し、ブラウン運動の罰則枠組みを一般化する非正のスーパーマーティンゲールの分解を提示する。

ABSTRACT

Limit theorems for the normalized laws with respect to two kinds of weight functionals are studied for any symmetric stable Lévy process of index $ 1 &lt; α\le 2 $. The first kind is a function of the local time at the origin, and the second kind is the exponential of an occupation time integral. Special emphasis is put on the role played by a stable Lévy counterpart of the universal $ σ$-finite measure, found in [9] and [10], which unifies the corresponding limit theorems in the Brownian setup for which $ α=2 $.

研究の動機と目的

• ブラウン運動（$\alpha = 2$）における罰則枠組みを、$1 < \alpha \leq 2$ の一般の対称安定 Lévy 过程へ拡張すること。
• ブラウンブリッジ測度 $\mathscr{W}$ の類似物として、普遍的な $\sigma$-有限測度 $\mathscr{P}$ を導入し、異なる重み関数に対する極限定理を統一すること。
• 局所時間および指数的滞在時間に基づく重み関数に対する極限正規化測度を、測度 $\mathscr{P}$ を用いて特徴づけること。

提案手法

• 新しい $\sigma$-有限測度 $\mathscr{P} = \frac{\Gamma(1/\alpha)}{\alpha\pi}\int_0^\infty \frac{du}{u^{1/\alpha}} Q^{(u)} \bullet P^h_0$ を導入し、ここで $Q^{(u)}$ はブリッジ分布、$P^h_0$ は $|x|^{\alpha-1}$ の $h$-パス過程を表す。
• マルティングール生成子 $M_{t,x}(F)$ を、$\mathscr{P}_x$ における $F$ の $P_x$-条件付き期待値として定義し、$M_{t,x}(F) \to 0$ $P_0$-a.s. かつ $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-a.s. となるように保証する。
• 伊藤のエクストリーム測度 $n$ と局所時間 $L_t$ を用い、安定過程を分解し、$\{R > t\}$ 上でのエクストリーム測度の正規化によりミーダー分布 $M^{(t)}$ を導出する。
• 任意の非負の $\mathscr{P}_x$-可積分関数 $F$ に対して、$M_{t,x}(F)$ が非負の $P_x$-マルティングールであり、$P_x$-a.s. で 0 に収束し、$\mathscr{P}$-a.s. で正規化され $F$ に収束することを証明する。
• 非負の $P_0$-スーパーマーティンゲール $N_t$ を、三つの成分に分解する：マルティングール部 $M_{t,x}(F)$、一様可積分なマルティングール部 $P_0[N_\infty|\mathcal{F}_t]$、および $P_0$-a.s. かつ正規化形で 0 に収束する残差部 $\xi_t$。
• 収束 $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-a.s. を応用し、罰則問題における極限測度 $P^\Gamma_x$ が $P^\Gamma_x = \Gamma_\infty \cdot \mathscr{P}_x / \mathscr{P}_x[\Gamma_\infty]$ で与えられることを示し、極限を特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称安定 Lévy 过程の罰則問題は、ブラウン運動の場合の $\mathscr{W}$ に類する普遍的な $\sigma$-有限測度によって統一可能か？
• RQ2 $\Gamma_t$ が局所時間または指数的滞在時間に基づく重み関数であるとき、$t \to \infty$ において $\mathcal{F}_s$ 沿いに $\Gamma_t \cdot P_x / P_x[\Gamma_t]$ が概収束するか？
• RQ3 普遍測度 $\mathscr{P}_x$ の下でマルティングール生成子 $M_{t,x}(F)$ を用いて、極限測度 $P^\Gamma_x$ を特徴づけられるか？
• RQ4 任意の非負の $P_0$-スーパーマーティンゲールは、$\mathscr{P}$-可積分関数、$P_0$-可積分な終値、および消える残差部に対応する成分に分解可能か？

主な発見

• 普遍的な $\sigma$-有限測度 $\mathscr{P}$ は $\frac{\Gamma(1/\alpha)}{\alpha\pi}\int_0^\infty \frac{du}{u^{1/\alpha}} Q^{(u)} \bullet P^h_0$ として構成され、ブラウンブリッジ測度 $\mathscr{W}$ の安定 Lévy 版を提供する。
• 任意の非負の $\mathscr{P}_x$-可積分関数 $F$ に対して、$M_{t,x}(F)$ は非負の $P_x$-マルティングールであり、$t \to \infty$ で $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-ほとんど確実に収束する。これは主要な収束性を保証する。
• 罰則問題における極限測度 $P^\Gamma_x$ は $P^\Gamma_x = \Gamma_\infty \cdot \mathscr{P}_x / \mathscr{P}_x[\Gamma_\infty]$ として特徴づけられる。ここで $\Gamma_\infty$ は $\mathscr{P}_x$ の下で $\Gamma_t / \mu(t)$ の概収束極限である。これにより極限の存在と形が保証される。
• 任意の非負の $P_0$-スーパーマーティンゲール $N_t$ は、一意的な分解 $N_t = M_t(F) + P_0[N_\infty|\mathcal{F}_t] + \xi_t$ を持つ。ここで $M_t(F)$ は $M_t(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-a.s. を満たすマルティングール、$P_0[N_\infty|\mathcal{F}_t]$ は一様可積分であり、$\xi_t/(1+h(X_t)) \to 0$ $\mathscr{P}$-a.s. である。
• マルティングール生成子 $M_{t,x}(F)$ は $P^\Gamma_x|_{\mathcal{F}_t} = \frac{M_{t,x}(\Gamma_\infty)}{\mathscr{P}_x[\Gamma_\infty]} \cdot P_x|_{\mathcal{F}_t}$ を満たし、極限測度のパスワイズ特徴づけを提供する。
• 収束 $M_{t,x}(F)/(1+h(X_t)) \to F$ $\mathscr{P}$-a.s. を用いて、$P^\Gamma_x$ が正規化測度 $\Gamma_t \cdot P_x / P_x[\Gamma_t]$ の一意的な極限であることを証明し、一般化された形で罰則問題を完全に解消する。