[論文レビュー] Penalization via global functionals of optimal-control problems for dissipative evolution

Lorenzo Portinale, Ulisse Stefanelli|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2019

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ひとこと要約

本稿では、微分的制約を満たすために、時間全域にわたる汎関数（De GiorgiおよびBrezis-Ekeland-Nayroles）を用いた最適制御問題に対する罰則法を提案する。この手法により、勾配系、二重非線形系、GENEIC系を含む多様な散逸的発展方程式に対して、罰則パラメータが0に近づく際の最小化子の収束を保証するΓ収束を確立する。

ABSTRACT

We consider an optimal control problem for an abstract nonlinear dissipative evolution equation. The differential constraint is penalized by augmenting the target functional by a nonnegative global-in-time functional which is null-minimized in the evolution equation is satisfied. Different variational settings are presented, leading to the convergence of the penalization method for gradient flows, noncyclic and semimonotone flows, doubly nonlinear evolutions, and GENERIC systems.

研究の動機と目的

• 抽象的散逸的発展方程式の最適制御のための変分的罰則フレームワークを構築すること。
• 罰則パラメータε → 0 の際に、罰則付き最小化子が制約付き問題の解に収束することを保証すること。
• 勾配系、二重非線形系、GENERIC系を含む多様な散逸的系へこの手法を拡張すること。
• 凸および非凸ポテンシャルを含む、異なる変分的構造（凸性など）においても罰則法の有効性を確立すること。
• 交互最小化またはエネルギーに基づく最適化による数値実装のための統一的理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 目的汎関数F(u,y)に、微分方程式が満たされる場合にかつその場合にのみ0となる非負の時間全域汎関数G(u,y)を付加する。
• De Giorgi汎関数 G_DG = ∫₀ᵀ [½‖y′‖² + ½‖∂ϕ(y)−u‖² − (u,y′)] dt + ϕ(y(T))−ϕ(y₀) を用い、変分的形で残差を罰則化する。
• 凸系の場合に用いるBrezis-Ekeland-Nayroles汎関数 G BEN = ∫₀ᵀ [ϕ(y) + ϕ*(u−y′) − (u,y)] dt + ½‖y(T)‖² − ½‖y₀‖² を採用する。
• 罰則付き汎関数 E_ε = F + (1/ε)G が、G(u,y)=0 のときF(u,y)、それ以外は∞となる制約付き極限 E₀ にΓ収束することを証明する。
• 弱収束・強収束、Gの下準連続性、Fの強制性を活用し、最小化子の存在および収束を確立する。
• 具体的な系にこのフレームワークを適用：勾配系、非循環的／半単調系、二重非線形発展、エネルギーとエントロピー構造を持つGENERIC系。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散逸的発展方程式の最適制御問題における微分的制約の罰則化は、方程式が満たされる場合にのみ0となる時間全域汎関数を用いて達成可能か？
• RQ2 罰則付き汎関数 E_ε = F + (1/ε)G が ε → 0 の際に制約付き問題に収束し、最小化子の収束が保証されるか？
• RQ3 De GiorgiとBrezis-Ekeland-Nayrolesの両方の時間全域汎関数の選択が、変分的構造および数値実装可能性に与える影響は何か？
• RQ4 非凸ポテンシャルおよびGENERICのような複雑な系へも罰則法を拡張可能か？
• RQ5 異なる位相空間および関数的設定において、E_ε が E₀ にΓ収束するための条件は何か？

主な発見

• 弱収束および強収束の両位相において、多様な散逸的系に対して罰則付き汎関数 E_ε が制約付き極限 E₀ にΓ収束することが確立された。
• De Giorgi汎関数では、非凸ポテンシャルに対しても収束が成立し、凸エネルギー汎関数に限らない広範な適用可能性を実現した。
• Brezis-Ekeland-Nayroles汎関数は、u および y それぞれについて独立した凸性を提供し、交互最小化アルゴリズムの実装を可能にした。
• G_DG の下準連続性が、L²(0,T;H) × H¹(0,T;H) 上の強収束×弱収束において証明され、最小化子の存在を保証した。
• GENERIC系に対しても本手法が適用可能であることが示された。エネルギーとエントロピー保存を有する熱化振動子モデルを用いた数値的実装例が提示された。
• ϕ の部分集合における F の強制性により、y_ε が C([0,T];H) 内で強収束するためのコンパクト性が保証され、収束の根拠となった。